2014 北京卷 数学

（5分）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（　　）A $\mathsf { y } = \mathsf { e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { x } }$ B．y=x C $\mathsf { y } = \mathsf { I n } \mathsf { x }$ D $\mathsf { y } = \left| \mathsf { x } \right|$

（5分）已知向 $\varXi = ( 2 , \ 4 ) , \ \vec { \mathrm { \bf ~ b } } = ( \ - \ 1 , \ 1 )$ ，则 $2 \overrightarrow { a } - \overrightarrow { b } =$ （　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

（5分）设a，b是实数，则 $\mathsf { a } > \mathsf { b } ^ { \prime \prime }$ 是 $" \mathsf { a } ^ { 2 } > \mathsf { b } ^ { 2 \prime \prime }$ 的（　　）

（5分）已知函数 ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { \nabla } \times \right) \ = { \frac { 6 } { \mathbf { x } } } - \ \log _ { 2 } \mathbf { x }$ ，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

（5分）已知圆C： $( x - 3 ) 2 + ( y - 4 ) 2 = 1$ 和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m{{QUESTIONS_HTML}}gt; 0 )$ ），若圆C上存在点 P，使得 $\angle A P B = 9 0 ^ { \circ }$ ，则m的最大值为（　　）

（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 $p { = } { \tt a t } ^ { 2 } { + } { \tt b t } { + } { \tt c }$ （a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

（5分）设双曲线C 的两个焦点为 $( ~ - ~ { \sqrt { 2 } } , ~ 0 ) , ~ ( { \sqrt { 2 } } , ~ 0 )$ ），一个顶点是（1，0），则C 的方程为 $\mathbf { x } ^ { 2 } - \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$

（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 $\underline { { 2 } } \sqrt { 2 }$

（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

<table><tr><td>工序 时间</td><td>粗加工</td><td>精加工</td></tr><tr><td>原料</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">原料A</td><td colspan="1" rowspan="1">9</td><td colspan="1" rowspan="1">15</td></tr><tr><td colspan="1" rowspan="1">原料B</td><td colspan="1" rowspan="1">6</td><td colspan="1" rowspan="1">21</td></tr></table>

则最短交货期为　42 个工作日

（13 分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是等差数列，满足 $\mathsf { a } _ { 1 } = 3 , \mathsf { a } _ { 4 } = 1 2$ ，数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 满足 $\mathsf { b } _ { 1 } = 4$ $b _ { 4 } = 2 0$ ，且 $\{ \boldsymbol { \mathsf { b } } _ { \mathsf { n } } - \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等比数列

（1）求数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和

（14 分）如图，在三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，侧棱垂直于底面， $A B \bot B C$ $\mathsf { A A } _ { 1 } = \mathsf { A C } = 2$ ，BC=1，E、F 分别为 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 、BC的中点

（1）求证：平面 $\mathsf { A B E \bot }$ 平面 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { B C C } _ { 1 }$ ；

（2）求证： $\mathsf C _ { 1 } \mathsf F / /$ 平面 ABE；

（3）求三棱锥E﹣ABC 的体积