2014 地方卷 数学

设集合 $A = \{ x \parallel x - 1 | < 2 \}$ $B = \{ y \vert y = 2 ^ { x } , x \in [ 0 , 2 ] \}$ ，则 A BI = ( )

用反证法证明命题:“已知a b, 为实数,则方程 $x ^ { 2 } + a x + b = 0$ 至少有一个实根”时,要做的假设是( )

已知实数 x y, 满足 $a ^ { x } < a ^ { y } ( 0 < a < 1 )$ ，则下列关系式恒成立的是( )

直线 $y = 4 x$ 与曲线 $y = x ^ { 3 }$ 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )

为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15) ，[15,16) ，[16,17] ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的

频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数
为( )

已知函数 $f ( x ) = \mid x - 2 \mid + 1 , g ( x ) = k x$ ,若 $f ( x ) = g ( x )$ 有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( )

已知x y, 满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l } { { x - y - 1 \le 0 , } } \\ { { 2 x - y - 3 \ge 0 . } } \end{array} \right.$ 当目标函数 $z = a x + b y ( a > 0 , b > 0 )$ 在该约束条件下取到最小
值 $2 { \sqrt { 5 } }$ 时， $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的最小值为( )

已知 $a > b$ ，椭圆 $C _ { 1 }$ 的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，双曲线 $C _ { 2 }$ 的方程为 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1$ ， $C _ { 1 }$ 与 $C _ { 2 }$ 的离心率之积 为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，则 $C _ { 2 }$ 的渐近线方程为( )

执行右面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为；

在 $\Delta A B C$ 中，已知 $\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A C } = \tan A$ ，当 $A = \frac { \pi } { 6 }$ 时， $\Delta A B C$ 的面积为；

三棱锥 $P - A B C$ 中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D ABE- 的体积为 $V _ { 1 }$ ，P ABC- 的体积为 $V _ { 2 }$ ，则 $\frac { V _ { 1 } } { V _ { 2 } } =$

若 $( a x ^ { 2 } + \frac { b } { x } ) ^ { 6 }$ 的展开式中 $x ^ { 3 }$ 项的系数为20，则 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的最小值为；

已知函数 $y = f ( x ) ( x \in R )$ .对函数 $y = g ( x ) ( x \in I )$ ，定义 g x( ) 关于 f x( ) 的“对称函数”为$y = h ( x ) ( x \in I )$ $y = h ( x )$ 满足：对任意 $x \in I$ ，两个点 ( , ( ))x h x ， $( x , g ( x ) )$ 关于点 $( x , f ( x ) )$ 对称，若h x( ) 是 $g ( x ) = \sqrt { 4 - x ^ { 2 } }$ 关于 $f ( x ) = 3 x + b$ 的“对称函数”，且 $h ( x ) > g ( x )$ 恒成立，则实数b的取值范围是

17.（本小题满分12分）

如图，在四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，底面ABCD是等腰梯形， $\angle D A B = 6 0 ^ { \circ }$ $A B = 2 C D = 2$ ，M是线段AB 的中点.

（Ⅰ）求证： $C _ { 1 } M / / A _ { 1 } A D D _ { 1 }$

（Ⅱ）若 $C D _ { 1 }$ 垂直于平面ABCD且 $C D _ { 1 } = \sqrt { 3 }$ ，求平面 $C _ { 1 } D _ { 1 } M$ 和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值.

（本小题满分12分）

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的公差为2，前n项和为 $S _ { n }$ ，且 $S _ { 1 } , S _ { 2 } , S _ { 4 }$ 成等比数列.

（Ⅰ）求数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $b _ { n } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } { \frac { 4 n } { a _ { n } a _ { n + 1 } } }$ ，求数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和 $T _ { n }$ .

20.（本小题满分13分）

设函数 $f ( x ) = { \frac { e ^ { x } } { { x } ^ { 2 } } } - k ( { \frac { 2 } { x } } + \ln x )$ （k为常数， $e = 2 . 7 1 8 2 8 \cdots$ 是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时，求函数 f x( )的单调区间；

（Ⅱ）若函数f x( )在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知抛物线 $C : y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点为F ，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有 $\mid F A \mid = \mid F D \mid$ .当点A的横坐标为3时， $\Delta A D F$ 为正三角形.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线 $l _ { 1 } / / l$ ，且 $l _ { 1 }$ 和C有且只有一个公共点 E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ） $\Delta A B E$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.