2014 新课标 I 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot \mathsf { M } = \{ \mathsf { x } | - 1 { < } \mathsf { x } { < } 3 \}$ $\Nu = \{ \times | - 2 < x < 1 \}$ ，则M∩N=（　　）

（5分）若 $\tan a > 0$ ，则（ ） A $\mathsf { s i n q } > 0$ B $\cos \mathsf { a } > 0$ C $\sin 2 a > 0$ D $\cos 2 a > 0$

（5分）设 $\mathrm { \cdot } 2 { = } \frac { 1 } { 1 { + } \mathrm { i } } \mathrm { \cdot } \mathrm { i }$ ，则|z|=（　　） A $\frac { 1 } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ D．2

（5分）已知双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1 ( \mathsf { a } > 0 )$ 的离心率为2，则实数a=（ A．2 B $\frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$ C $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ D．1

（5分）设D，E，F分别为 $\triangle A B C$ 的三边BC，CA，AB的中点，则 $\overrightarrow { E B } + \overrightarrow { F C } =$ （）A $\overrightarrow { \mathrm { A D } }$ B $\frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { \tt A D }$ C $\overrightarrow { B C }$ D $\frac { 1 } { 2 } \overrightarrow { \mathrm { B C } }$

（5分）在函数 $\scriptstyle ( 1 ) y = \cos \left| 2 x \right|$ $\textcircled{2} y = 1 \cos x 1$ $\textcircled { 3 } y = \cos ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } )$ ，④y=tan（$2 \times - \frac { \pi } { 4 } )$ 中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　）

A $\frac { 2 0 } { 3 }$ B $\frac { 7 } { 2 }$ C $\frac { 1 6 } { 5 }$ D $\frac { 1 5 } { 8 }$

（5分）已知抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } \mathsf { x }$ 的焦点为F， $\boldsymbol { \mathsf { A } } \ \left( \boldsymbol { \mathsf { x } } _ { 0 } , \ \boldsymbol { \mathsf { y } } _ { 0 } \right)$ 是C上一点， $\mathsf { A F } = \big | \frac { 5 } { 4 } \mathsf { x } _ { 0 } \big |$ ，则 $\mathsf { x } _ { 0 } \mathsf { = }$ ）

（5分）已知函数f $( { \bf { x } } ) { \bf { \varepsilon } } = { \bf { a } } { \bf { x } } ^ { 3 } - 3 { \bf { x } } ^ { 2 } + 1$ ，若f（x）存在唯一的零点 $\mathbf { \dot { x } } _ { 0 }$ ，且 $. \mathsf { x } _ { 0 } > 0$ ，则实数a的取值范围是（　　）A $( 1 , \ + \infty )$ B．（2，+∞） C $\big ( \mathrm { ~ - ~ } \infty , \mathrm { ~ - ~ } 1 \big )$ D $( \mathbf { \partial } - \infty , \mathbf { \partial } - 2 )$

（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角 $\angle M A N = 6 0 ^ { \circ }$ ，C点的仰角 $\angle C A B = 4 5 ^ { \circ }$ 以及 $\angle M A C = 7 5 ^ { \circ }$ ；从C点测得 $\angle M C A = 6 0 ^ { \circ }$ ，已知山高 $\mathsf { B C } = 1 0 0 \mathsf { m }$ ，则山高 $\mathsf { M N } { = } \_ { 1 5 0 } \quad \mathsf { m }$

（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>质量指标值分组</td><td rowspan=1 colspan=1>[75，85)</td><td rowspan=1 colspan=1>[85，95)</td><td rowspan=1 colspan=1>[95, 105)</td><td rowspan=1 colspan=1>[105， 115）</td><td rowspan=1 colspan=1>[115, 125）</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>频数</td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1>26</td><td rowspan=1 colspan=1>38</td><td rowspan=1 colspan=1>22</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td></tr></table>

（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；

（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品 $80 \%$ 的规定？

（12分）如图，三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，侧面 $\mathsf { B B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 为菱形， $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C }$ 的中点为O，且AO⊥平面 ${ \mathsf { B B } } _ { 1 } { \mathsf { C } } _ { 1 } { \mathsf { C } }$

（1）证明： ${ \mathsf { B } } _ { 1 } { \mathsf { C } } \bot { \mathsf { A } } { \mathsf { B } } $

（2）若 $\cdot \mathsf { A C \bot A B _ { 1 } } , \angle \mathsf { C B B _ { 1 } } \mathsf { = } 6 0 ^ { \circ }$ ，BC=1，求三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的高

（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明： $\angle D = \angle E$

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明： $\triangle \mathsf { A D E }$ 为等边三角形