2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位．若 $a+i=2-b i$ ，则 $(a+b i)^{2}=$

（2）设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x<0\right\}, B=\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B=$

（3）函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\log _{2} x-1}}$ 的定义域为

（4） 用反证法证明命题：＂设 $a, b$ 为实数，则方程 $x^{3}+a x+b=0$ 至少有一个实根＂时，要做的假设是

（5）已知实数 $x, y$ 满足 $a^{x}<a^{y}(0<a<1)$ ，则下列关系式恒成立的是

（6）已知函数 $y=\log _{a}(x+c)(a, c$ 为常数，其中 $a>0, a \neq 1)$ 的图象如右图，则下列结论成立的是 

（7）已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(3, m)$ ．若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$ ，则实数 $m=$

（8） 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为 $[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]$ ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯⋯，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 

（9） 对于函数 $f(x)$ ，若存在常数 $a \neq 0$ ，使得 $x$ 取定义域内的每一个值，都有 $f(x)=f(2 a-x)$ ，则称 $f(x)$ 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

（10） 已知 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y-1 \leq 0, \\ 2 x-y-3 \geq 0,\end{array}\right.$ 当目标函数 $z=a x+b y(a>0, b>0)$ 在该约束条件下取到最小值 $2 \sqrt{5}$ 时，$a^{2}+b^{2}$ 的最小值为

（11）执行右面的程序框图，若输入的 $x$ 的值为 1 ，则输出的 $n$ 的值为

（12）函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\cos ^{2} x$ 的最小正周期为 则 掤

（13） 一个六棱锥的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等 ，则该六棱锥的侧面积为 $\_\_\_\_$。

（14） 圆心在直线 $x-2 y=0$ 上的圆 $C$ 与 $y$ 轴的正半轴相切，圆 $C$ 截 $x$ 轴所得弦的长为 $2 \sqrt{3}$ ，则圆 $C$ 的标准方程为 $\_\_\_\_$。

（15） 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 c$ ，右顶点为A，抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2 c$  ，且 $|F A|=c$ ，则双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$。

（16）（本小题满分 12 分） 海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示。工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测。 | 地区 | A | B | C | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 数量 | 50 | 150 | 100 | （I）求这 6 件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．

（17）（本小题满分 12 分） $\triangle A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a=3, \cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}, B=A+\frac{\pi}{2}$ ． （I）求 $b$ 的值； （II）求 $\triangle A B C$ 的面积．

（18）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 $P-A B C D$ 中， $A P \perp$ 平面 $P C D, A D / / B C, A B=B C=\frac{1}{2} A D, E, F$ 分别为线段 $A D, P C$ 的中点． （I）求证：$A P / /$ 平面 $B E F$ ； （II）求证：$B E \perp$ 平面 $P A C$ ．

（19）（本小题满分 12 分） 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知公差 $d=2, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4}$ 的等比中项． （I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；  （II）设 $b_{n}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$ ，记 $T_{n}=-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}-\ldots+(-1)^{n} b_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

（20）（本小题满分 13 分） 设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{x-1}{x+1}$ ，其中 $a$ 为常数． （I）若 $a=0$ ，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f①)$ 处的切线方程； （II）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

（21）（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ． （I）求椭圆 $C$ 的方程； （II）过原点的直线与椭圆 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点（A， B 不是椭圆 C 的顶点）． 点 D 在椭圆 C 上，且 $A D \perp A B$ ，直线 BD 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点． （i）设直线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_{1}=\lambda k_{2}$ ，并求出 $\lambda$ 的值； （ii）求 $\triangle O M N$ 面积的最大值．