2019 新课标 I 卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $M=\{x \mid-4<x<2\}, N=\left\{x \mid x^{2}-x-6<0\right\}$ ，则 $M \cap N=$

2．设复数 $z$ 满足 $|z-\mathrm{i}|=1, z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则

3．已知 $a=\log _{2} 0.2, b=2^{0.2}, c=0.2^{0.3}$ ，则

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称为黄金分割比例），著名的＂断臂维纳斯＂便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能是 

5．函数 $f(x)=\frac{\sin x+x}{\cos x+x^{2}}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图像大致为

6．我国古代典籍《周易》用＂卦＂描述万物的变化．每一＂重卦＂由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻＂——＂和阴爻＂—— ＂，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是

7．已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|a|=2|b|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

8．如图是求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入 

9．记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_{4}=0, a_{5}=5$ ，则

10．已知椭圆 C 的焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．若 $\left|A F_{2}\right|=2\left|F_{2} B\right|,|A B|=\left|B F_{1}\right|$ ，则 $C$ 的方程为

11．关于函数 $f(x)=\sin |x|+|\sin x|$ 有下述四个结论： ①$f(x)$ 是偶函数 ②$f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递增 ③$f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有 4 个零点 ④$f(x)$ 的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是

12．已知三棱锥 $P$－ $A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$P A=P B=P C, \triangle A B C$ 是边长为 2 的正三角形，$E, F$ 分别是 $P A, P B$ 的中点，$\angle C E F=90^{\circ}$ ，则球 $O$ 的体积为

13．曲线 $y=3\left(x^{2}+x\right) \mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

14．记 $S_{n}$ 为等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}=\frac{1}{3}, a_{4}^{2}=a_{6}$ ，则 $S_{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛 结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为＂主主客客主客主＂。设甲队主场取胜的概率为 0.6 ，客场取胜的概率为 0.5 ，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 $4: 1$ 获胜的概率是 $\_\_\_\_$。

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点．若 $\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{F_{1} B} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$ －

17． $\mathrm{V} A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $(\sin B-\sin C)^{2}=\sin ^{2} A-\sin B \sin C$. （1）求 $A$ ； （2）若 $\sqrt{2} a+b=2 c$ ，求 $\sin C$ ．

18．如图，直四棱柱 $A B C D-$ $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。  （1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ； （2）求二面角 $A-M A_{1}-N$ 的正弦值．

19．已知抛物线 $C: y^{2}=3 x$ 的焦点为 $F$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的交点为 $A, B$ ，与 $x$ 轴的交点为 $P$ （1）若 $|A F|+|B F|=4$ ，求 $l$ 的方程； （2）若 $\overrightarrow{A P}=3 \overrightarrow{P B}$ ，求 $|A B|$ ．

20．已知函数 $f(x)=\sin x-\ln (1+x), f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导数．证明： ①$f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ 存在唯一极大值点； （2）$f(x)$ 有且仅有 2 个零点．

21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$ ，一轮试验中甲药的得分记为 $X$ ． （1）求 $X$ 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，$p_{i}(i=0,1, \cdots, 8)$ 表示＂甲药的累计得分为 $i$ 时 ，最终认为甲药比乙药更有效＂的概率，则 $p_{0}=0, p_{8}=1, p_{i}=a p_{i-1}+b p_{i}+c p_{i+1} (i=1,2, \cdots, 7)$ ，其中 $a=P(X=-1), b=P(X=0), c=P(X=1)$ 。假设 $\alpha=0.5$ ， $\beta=0.8$. （i）证明：$\left\{p_{i+1}-p_{i}\right\}(i=0,1,2, \cdots, 7)$ 为等比数列； （ii）求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性。

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］ 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{4 t}{1+t^{2}}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 \rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta+11=0$. （1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程； （2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．

23．［选修4－5：不等式选讲］ 已知 $a, b, c$ 为正数，且满足 $a b c=1$ ．证明： ①$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ； ②$(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$ ．