2023 天津卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $U=\{1,2,3,4,5\}, A=\{1,3\}, B=\{1,2,4\}$ ，则 $\bigoplus^{*} B \cup A=$

2．＂$a^{2}=b^{2}$＂是＂$a^{2}+b^{2}=2 a b$＂的（ ）

3．若 $a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为

4．函数 $f(x)$ 的图象如下图所示，则 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

5．已知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为直线 $x=2$ ，一个周期为 4 ，则 $f(x)$ 的解析式可能为（ ）

6．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_{n}+2$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

7．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 $r=0.8245$ ，下列说法正确的是（

8．在三棱锥 $P-A B C$ 中，线段 $P C$ 上的点 $M$ 满足 $P M=\frac{1}{3} P C$ ，线段 $P B$ 上的点 $N$ 满足 $P N=\frac{2}{3} P B$ ，则三棱锥 $P-A M N$ 和三棱锥 $P-A B C$ 的体积之比为

9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．已知 $P F_{2}=2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（ ）

10．已知 i 是虚数单位，化简 $\frac{5+14 \mathrm{i}}{2+3 \mathrm{i}}$ 的结果为 $\_\_\_\_$ ．

11．在 $\left(2 x^{3}-\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 项的系数为 $\_\_\_\_$ ．

12．过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 于点 $P$ ，若 $|O P|=8$ ，则 $p$的值为 $\_\_\_\_$ ．

13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 $5: 4: 6$ ．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 $40 \%, 25 \%, 50 \%$ 。现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 $\_\_\_\_$ ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 $\_\_\_\_$。

14．在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=60^{\circ}, B C=1$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $E$ 为 $C D$ 的中点，若设 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ，则 $\overrightarrow{A E}$ 可用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ；若 $\overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$。

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

16．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分別是 $a, b, c$ ．已知 $a=\sqrt{39}, b=2, \angle A=120^{\circ}$ ．
（1）求 $\sin B$ 的值；
（2）求 $c$ 的值；
（3）求 $\sin (B-C)$ ．

17．三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A_{1} A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_{1}=2, A_{1} C_{1}=1, M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点．

（1）求证：$A_{1} N / /$ 平面 $C_{1} M A$ ；
（2）求平面 $C_{1} M A$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成夹角的余弦值；
（3）求点 $C$ 到平面 $C_{1} M A$ 的距离．

18．设随圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点为 $F$ ，已知 $\left|A_{1} F\right|=3,\left|A_{2} F\right|=1$ ．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若三角形 $A_{1} P Q$ 的面积是三角形 $A_{2} F P$ 面积的二倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

19．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16, a_{5}-a_{3}=4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^{n}-1} a_{i}$ ．
（2）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ ，若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^{k}-1$ ，则 $b_{k}<a_{n}<b_{k+1}$ ，
（I）当 $k \geq 2$ 时，求证： $2^{k}-1<b_{k}<2^{k}+1$ ；
（II）求 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和。

20．已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率；
（2）当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$ ；
（3）证明：$\frac{5}{6}<\ln (n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$ ．