2014 上海卷 数学

（2014）函数 $y = 1 - 2 \cos ^ { 2 } ( 2 x )$ 的最小正周期是

（2014）若复数z i1 2 ，其中i是虚数单位，则 $\left( z + { \frac { 1 } { z } } \right) \cdot { \overline { { z } } } =$

（2014）若抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x$ 的焦点与椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1$ 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为

（2014）设 $f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { x , } & { x \in ( - \infty , a ) , } \\ { x ^ { 2 } , } & { x \in [ a , + \infty ) . } \end{array} \right. }$ 若 $f ( 2 ) = 4$ ，则a的取值范围为

（2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

（2014）若 $f ( x ) = x ^ { \frac { 2 } { 3 } } - x ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } }$ ，则满足 $f ( x ) < 0$ 的x的取值范围是

（2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）.

（2014）设常数a使方程 $\sin x + { \sqrt { 3 } } \cos x = a$ 在闭区间[0, 2 ]p 上恰有三个解 $x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 }$ 则 $x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } =$

（2014）某游戏的得分为1 , 2 , 3 , 4 , 5 ，随机变量 $\xi$ 表示小白玩该游戏的得分. 若$E ( \xi ) = 4 . 2$ ，则小白得5分的概率至少为

（2014）已知曲线 $C : x = - \sqrt { 4 - y ^ { 2 } }$ ，直线 $l : x = 6$ 若对于点 A m( , 0) ，存在C 上的点 P 和l 上的Q 使得 $\overrightarrow { A P } + \overrightarrow { A Q } = \overrightarrow { 0 }$ ，则m的取值范围为

（2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四

棱柱，AB是一条侧棱， $P _ { i } \left( i = 1 , 2 , \cdots , 8 \right)$ 是上底面上其余的八个点，则$\overrightarrow { A B } \cdot \overrightarrow { A P _ { i } } ( i = 1 , \ 2 , \ . . . , \ 8 )$ 的不同值的个数为 （ ）

（2014）(本题满分12分)

底面边长为2的正三棱锥 $P { - } A B C$ ，其表面展开图是三角形 $P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ ，如图.

求△ $P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ 的各边长及此三棱锥的体积V .

（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设常数 $a \geq 0$ ，函数 $f ( x ) = { \frac { 2 ^ { x } + a } { 2 ^ { x } - a } }$

(1) 若 a = 4 ，求函数 $y = f ( x )$ 的反函数 $y = f ^ { - 1 } ( x )$

(2) 根据a的不同取值，讨论函数 $y = f ( x )$ 的奇偶性，并说明理由.

（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，某公司要在A B、 两地连线上的定点

C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB 长80米.

设点A B、 在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为a和 $\beta$ .

① 设计中CD是铅垂方向. 若要求 $\alpha \ge 2 \beta$ ，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

施工完成后， $C D $ 铅垂方向有偏差．现在实测得 $\alpha = 3 8 . 1 2 ^ { \circ }$ $\beta = 1 8 . 4 5 ^ { \circ }$ ，求CD的长（结果精确到0.01米）.

（2014）(本题满分16分)

本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线 $l : a x + b y + c = 0$ 和点 $P _ { 1 } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , P _ { 2 } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$ 记 $\eta = ( a x _ { 1 } + b y _ { 1 } + c ) ( a x _ { 2 } + b y _ { 2 } + c )$ 若 $\eta < 0$ ，则称点 $P _ { 1 } , P _ { 2 }$ 被直线l分割.若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点 $P _ { 1 } , P _ { 2 }$ 被直线l分割，则称直线l为曲线C的一条分割线.

(1) 求证：点 A B(1 , 2) , ( 1 , 0)- 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分割；

(2) 若直线 y kx= 是曲线 $x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } = 1$ 的分割线，求实数k的取值范围；

(3) 动点M 到点Q(0, 2)的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E .
求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.

23. （2014）(本题满分18分)

本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $\frac { 1 } { 3 } a _ { n } \leq a _ { n + 1 } \leq 3 a _ { n } , n \in \mathbf { N } ^ { * } , a _ { 1 } = 1$

(1) 若 $a _ { 2 } = 2 , a _ { 3 } = x , a _ { 4 } = 9$ ，求x的取值范围；

② 设 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公比为q的等比数列， $S _ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n }$ . 若 ${ \frac { 1 } { 3 } } S _ { n } \leq S _ { n + 1 } \leq 3 S _ { n }$ $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ 求q的取值范围；

(3) 若 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { k }$ 成等差数列，且 $a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { k } = 1 0 0 0$ ，求正整数k的最大值，以及

k取最大值时相应数列 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { k }$ 的公差.