2016 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}^{2}<9\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $z+i=3-i$ ，则 $\bar{z}=$

3．（5分）函数 $y=A \sin (\omega x+\phi)$ 的部分图象如图所示，则（） 

4．（5分）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（

5．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P, P F \perp x$轴，则 $\mathrm{k}=$（ ）

6．（5分）圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-8 y+13=0$ 的圆心到直线 $a x+y-1=0$ 的距离为 1 ，则 $a=$（

7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为   

8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为4 0 秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为

9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的 $x=2, n=2$ ，依次输入的 $a$ 为 $2,2,5$ ，则输出的 $\mathrm{s}=$ 

10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 $y=10^{\lg x}$ 的定义域和值域相同的是（ ）

11．（5分）函数 $f(x)=\cos 2 x+6 \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ 的最大值为（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$ ，若函数 $y=\mid x^{2}-2 x- 3 \mid$ 与 $ y=f(x) $ 图象的交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{m} x_{i}=(\quad)$

13．（5分）已知向量 $\vec{a}=(m, 4), \vec{b}=(3,-2)$ ，且 $\vec{a} \| \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ －6 ．

14．（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y-3 \geqslant 0 \\ x-3 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-2 y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －5。

15．（5分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\cos \mathrm{A}=\frac{4}{5}, \cos \mathrm{C}=\frac{5}{13}$ ，$a=1$ ，则 $b=-\frac{21}{13}$－．

16．（5分）有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3 ， 2 和 3 ．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：＂我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ＂，乙看了丙的卡片后说：＂我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ＂，丙说：＂我的卡片上的数字之和不是 $5^{\prime \prime}$ ，则甲的卡片上的数字是 1 和 3 。

17．（12分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}=4, a_{5}+a_{7}=6$ ． （I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）设 $b_{n}=\left[a_{n}\right]$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 10 项和，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0,[2.6]=2$ 。

18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： | 上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geq 5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 保费 | 0.85 a | a | 1.25 a | 1.5 a | 1.75 a | 2 a | 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： | 出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\geq 5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 | （I）记A为事件：＂一续保人本年度的保费不高于基本保费＂．求P（A）的估计值； （II）记B为事件：＂一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的1 $60 \%$＂．求 P （B）的估计值； （III）求续保人本年度的平均保费估计值．

19．（12分）如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E , F$ 分别在 $A D, C D$上，$A E=C F$ ，$E F$ 交 $B D$ 于点 $H$ ，将 $\triangle D E F$ 沿 $E F$ 折到 $\triangle D^{\prime} E F$ 的位置。 （ I ）证明： $\mathrm{AC} \perp \mathrm{HD}^{\prime}$ ； （II）若 $\mathrm{AB}=5, \mathrm{AC}=6, \mathrm{AE}=\frac{5}{4}, \mathrm{OD}^{\prime}=2 \sqrt{2}$ ，求五棱锥 $\mathrm{D}^{\prime}-\mathrm{ABCFE}$ 体积。 

20．（12分）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}+1) \ln \mathrm{x}-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)$ ． （1）当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在（1，$f(1))$ 处的切线方程； （II）若当 $x \in(1,+\infty)$ 时，$f(x)>0$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）已知 $A$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交 $E$于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ． （I）当 $|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积 （II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，证明：$\sqrt{3}<k<2$ ．

22．（10分）如图，在正方形 ABCD 中， $\mathrm{E}, \mathrm{G}$ 分别在边 $\mathrm{DA}, \mathrm{DC}$ 上（不与端点重合），且 $\mathrm{DE}=\mathrm{DG}$ ，过 D 点作 $\mathrm{DF} \perp \mathrm{CE}$ ，垂足为 F 。 （I）证明：B，C，G，F 四点共圆； （II）若 $A B=1, E$ 为 $D A$ 的中点，求四边形 $B C G F$ 的面积． 

23．在直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的方程为 $(x+6)^{2}+y^{2}=25$ ． （I）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 c 的极坐标方程 ； （II）直线 $l$的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（t为参数），I与C交与A，B两点，$|A B|= \sqrt{10}$ ，求 $I$ 的斜率．

24．已知函数 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{2}\right|$ ，$M$ 为不等式 $f(x)<2$ 的解集。 （I）求M； （II）证明：当 $a, b \in M$ 时，$|a+b|<|1+a b|$ ．