2017 天津卷 · 文 数学

（5分）设集合 $A=\{1,2,6\}, B=\{2,4\}, C=\{1,2,3,4\}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =(\quad)$

（5分）设 $x \in R$ ，则＂ $2-x \geqslant 0$＂是＂$|x-1| \leqslant 1$＂的

（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为

（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 $N$ 的值为 19 ，则输出 $N$ 的值为

（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在双曲线

的渐近线上，$\triangle \mathrm{OAF}$ 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为

（5分）已知奇函数 $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数．若 $a=-f\left(\log _{2} \frac{1}{5}\right), b=f\left(\log _{2} 4\right.$ ．
1），$c=f\left(2^{0.8}\right)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

（5分）设函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\phi), x \in R$ ，其中 $\omega>0,|\phi|<\pi$ ．若 $f\left(\frac{5 \pi}{8}\right. )=2, f\left(\frac{11 \pi}{8}\right)=0$ ，且 $f(x)$ 的最小正周期大于 $2 \pi$ ，则（ ）

（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|+2, x<1 \\ x+\frac{2}{x}, x \geqslant 1 .\end{array}\right.$ ，设 $a \in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant \left|\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{a}\right|$ 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（）

（5分）已知 $a \in R$ ，$i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）已知 $a \in R$ ，设函数 $f(x)=a x-\ln x$ 的图象在点（1，$f(1)$ ）处的切线为 1 ，则 1 在 $y$ 轴上的截距为 $\_\_\_\_$。

（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 $\_\_\_\_$。

（5分）设抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线为 I ．已知点 C 在 I 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 $\angle \mathrm{FAC}=120^{\circ}$ ，则圆的方程为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）若a，$b \in R, a b>0$ ，则 $\frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{BD}}=2 \overrightarrow{\mathrm{DC}}, \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}(\lambda \in$

R），且 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=-4$ ，则 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 $x$ ，$y$ 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。
（I）用 $x$ ，$y$ 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

（13分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A D \perp$ 平面 $P D C, A D / / B C, P D \perp P B$ ， $A D=1, \quad B C=3, \quad C D=4, \quad P D=2$ ．
（I）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；
（II）求证：$P D \perp$ 平面 $P B C$ ；
（III）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．

（13分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的
等比数列，且公比大于0，$b2+b3=12$，$b3=a4$﹣2a1，$S11=11b4$．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．

（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g
（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数$y=g$（x）和$y=ex$的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在$x=x0$处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式g（x）≤ex在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范
围．