2010 北京卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2010•北京）（北京卷理1）集合 $P=\{x \in Z \mid 0 \leq x<3\}, M=\left\{x \in Z \mid x^{2}<9\right\}$ ，则 $P \cap M=$ （ ）

2．（5分）（2010•北京）在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$ ，公比 $q \neq 1$ 。若 $a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，则 $m=$（ ）

3．（5分）（2010•北京）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为  正（主）视图  侧（左）视图

4．（5分）（2010•北京）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为

5．（5分）（2010•北京）极坐标方程（ $\rho-1$ ）$(\theta-\pi)=0(\rho \geq 0)$ 表示的图形是

6．（5分）（2010•北京）若 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量，＂$\vec{a} \perp \vec{b}$＂是＂函数 $f(x)=(x \vec{a}+\vec{b}) \cdot(x \vec{b}-\vec{a})$ 为一次函数＂的（ ）

7．（5分）（2010•北京）设不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-11 \geqslant 0 \\ 3 x-y+3 \geqslant 0 \\ 5 x-3 y+9 \leqslant 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域为D，若指数函数 $y= \mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是（）

8．（5分）（2010•北京）如图，正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的棱长为 2 ，动点 $\mathrm{E} , \mathrm{~F}$ 在棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$上，动点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别在棱 $\mathrm{AD}, \mathrm{CD}$ 上，若 $\mathrm{EF}=1, \mathrm{~A}_{1} \mathrm{E}=\mathrm{x}, \mathrm{DQ}=\mathrm{y}, \mathrm{DP}=\mathrm{z} ~(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（ ） 

9．（5分）（2010．北京）在复平面内，复数 $\frac{2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 对应的点的坐标为 $\_\_\_\_$ $(-1,1)$ ．

10．（5 分）（2010•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{b}=1, \mathrm{c}=\sqrt{3}, \angle \mathrm{C}=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

11．（5分）（2010•北京）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知 $a=$ $\_\_\_\_$ 0.03 －若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为 $\_\_\_\_$ 3。 

12．（5分）（2010•北京）如图，$\odot \mathrm{O}$ 的弦 $\mathrm{ED}, \mathrm{CB}$ 的延长线交于点 A ．若 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AE}, \mathrm{AB}=4$ ， $\mathrm{BC}=2, \mathrm{AD}=3$ ，则 $\mathrm{DE}=$ $\_\_\_\_$ 5 ； $\mathrm{CE}=$ $\_\_\_\_$ $2 \sqrt{7}$ ＿ 

13．（5分）（2010•北京）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 ，焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 $\_\_\_\_$ $(4,0),(-4,0)$ ；渐近线方程为 $\_\_\_\_$ $y= \pm \sqrt{3} x$ 。

14．（5分）（2010•北京）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动．设顶点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ）的轨迹方程是 $y=f(x)$ ，则 $f(x)$ 的最小正周期为 $\_\_\_\_$ 4 ； $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面积为 $\_\_\_\_$ $\pi+1$ ． 

15．（13分）（2010•北京）已知函数 $f(x)=2 \cos 2 x+\sin ^{2} x-4 \cos x$ ． （I）求 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ 的值； （II）求 $f$（x）的最大值和最小值．

16．（14分）（2010•北京）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， CE $\perp \mathrm{AC}, \mathrm{EF} \| \mathrm{AC}, \mathrm{AB}=\sqrt{2}, \mathrm{CE}=\mathrm{EF}=1$ ． （I）求证： $\mathrm{AF} \|$ 平面 BDE ； （II）求证： $\mathrm{CF} \perp$ 平面 BDE ； （III）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{D}$ 的大小。 

17．（13分）（2010•北京）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 $\frac{4}{5}$ ，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 $p, q(p>q)$ ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记 $\xi$ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 | $\xi$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | p | 6 | a | d | 24 | | | 125 | | | 125 | （I）求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率； （II）求数学期望 $\mathrm{E} \xi$ 。

18．（13分）（2010•北京）已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{k}{2} x^{2}(k \geq 0)$ ． （I）当 $\mathrm{k}=2$ 时，求曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点（ $1, \mathrm{f}$①）处的切线方程； （II）求 f （ x ）的单调区间。

19．（14分）（2010•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 $\mathrm{A}(-1,1)$ 关于原点 O 对称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$ ． （I）求动点 P 的轨迹方程； （II）设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x=3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $\triangle P A B$ 与 $\triangle P M N$的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

20．（13分）（2010•北京）已知集合 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\left\{\mathrm{X} \mid \mathrm{X}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \in\{0,1\}, \mathrm{i}=1,2\right.$ ， $\ldots, n\}(n \geq 2)$ 对于 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}, ~\right), ~ B=\left(b_{1}, ~ b_{2}, \ldots b_{n},\right) \in S_{n}$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $\mathrm{A}-\mathrm{B}=\left(\left|\mathrm{a}_{1}-\mathrm{b}_{1}\right|,\left|\mathrm{a}_{2}-\mathrm{b}_{2}\right|, \ldots\left|\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right|\right)$ ； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d(A, B)=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}-b_{i}\right|$ （I）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，有 $\mathrm{A}-\mathrm{B} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{d}(\mathrm{A}-\mathrm{C}, \mathrm{B}-\mathrm{C})=\mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B})$ ； （II）证明：$\forall \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \in \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{B}), \mathrm{d}(\mathrm{A}, \mathrm{C}), \mathrm{d}(\mathrm{B}, \mathrm{C})$ 三个数中至少有一个是偶数 （III）设 $\mathrm{P} \subseteq \mathrm{S}_{\mathrm{n}}, \mathrm{P}$ 中有 $\mathrm{m}(\mathrm{m} \geq 2)$ 个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为 $\overline{\mathrm{d}}$（ P ）． 证明： $\bar{d}(P) \leq \frac{m n}{2(m-1)}$ ．