2010 quanguo_old_ii · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）复数 $\left(\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}=$

2．（5分）函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 的反函数是

3．（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant-1 \\ y \geqslant x \\ 3 x+2 y \leqslant 5\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x+y$ 的最大值为 ）

4．（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

5．（5分）不等式 $\frac{x^{2}-x-6}{x-1}>0$ 的解集为（ ）

6．（5分）将标号为 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ）

7．（5分）为了得到函数 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$的图象（ ）

8．（5分）$\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$C D$ 平分 $\angle A C B$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b},|\vec{a}|=1$ ， $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=$（ ）

9．（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{SA}=2 \sqrt{3}$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）

10．（5分）若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点（ $a, a^{-\frac{1}{2}}$ ）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

11．（5分）与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B , C C_{1} , A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点（ ）

12．（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）

13．（5分）已知a是第二象限的角， $\tan (\pi+2 \alpha)=-\frac{4}{3}$ ，则 $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$ 。

14．（5分）若 $\left(x-\frac{a}{x}\right)^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 -84 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

15．（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$

16．（5分）已知球 $O$ 的半径为 4 ，圆 $M$ 与圆 $N$ 为该球的两个小圆，$A B$ 为圆 $M$ 与圆 $N$ 的公共弦，$A B=4$ ，若 $O M=O N=3$ ，则两圆圆心的距离 $M N=$ $\_\_\_\_$ 3。

17．（10分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为边 BC 上的一点， $\mathrm{BD}=33, \sin \mathrm{~B}=\frac{5}{13}, \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{3}{5}$ ，求AD。

18．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\left(n^{2}+n\right) \cdot 3^{n}$ ． （I）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ ；（II）证明：$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}}{n^{2}}>3^{n}$ ．

19．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A C=B C, A A_{1}=A B, D$ 为 $B B_{1}$ 的中点 ，$E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点，$A E=3 E B_{1}$ ． （I）证明：$D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线； （II）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $A_{1}-A C_{1}-B_{1}$ 的大小。 

20．（12分）如图，由M到N的电路中有 4 个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}$ 的概率都是 P ，电流能通过 $\mathrm{T}_{4}$ 的概率是 0.9 ，电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999 （I）求 $P$ ； （II）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率． 

21．（12分）已知斜率为1的直线 $\mid$ 与双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 相交于B、 D 两点，且 BD 的中点为 $\mathrm{M}(1,3)$ ． （I）求C的离心率； （II）设C的右顶点为A，右焦点为F，$|\mathrm{DF}| \bullet|\mathrm{BF}|=17$ ，证明：过A、B、D三点的圆与 x 轴相切．

22．（12分）设函数 $f(x)=1-e^{-x}$ ． （I）证明：当 $x>-1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ ； （II）设当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ ，求 $a$ 的取值范围．