2010 全国 II 卷（旧） · 理 数学

（5分）复数 $\left(\frac{3-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\right)^{2}=$

（5分）函数 $y=\frac{1+\ln (x-1)}{2}(x>1)$ 的反函数是

（5分）若变量 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant-1 \\ y \geqslant x \\ 3 x+2 y \leqslant 5\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x+y$ 的最大值为 ）

（5分）如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$ ，那么 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{7}=$（）

（5分）不等式 $\frac{x^{2}-x-6}{x-1}>0$ 的解集为（ ）

（5分）将标号为 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ）

（5分）为了得到函数 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$的图象（ ）

（5分）$\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$C D$ 平分 $\angle A C B$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b},|\vec{a}|=1$ ， $|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=2$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=$（ ）

（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{SA}=2 \sqrt{3}$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）

（5分）若曲线 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在点（ $a, a^{-\frac{1}{2}}$ ）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 ，则 $\mathrm{a}=$（ ）

（5分）与正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的三条棱 $A B , C C_{1} , A_{1} D_{1}$ 所在直线的距离相等的点（ ）

（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）

（5分）已知a是第二象限的角， $\tan (\pi+2 \alpha)=-\frac{4}{3}$ ，则 $\tan \alpha=-\frac{1}{2}$ 。

（5分）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的准线，过 $\mathrm{M}(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$

（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆
N的公共弦，$AB=4$，若$OM=ON=3$，则两圆圆心的距离$MN=$　3　．

（10分）$\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 为边 BC 上的一点， $\mathrm{BD}=33, \sin \mathrm{~B}=\frac{5}{13}, \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{3}{5}$ ，求AD。

（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\left(n^{2}+n\right) \cdot 3^{n}$ ．
（I）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ ；（II）证明：$\frac{a_{1}}{1^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\ldots+\frac{a_{n}}{n^{2}}>3^{n}$ ．

（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电
流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通
过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999

．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率．

（12分）设函数 $f(x)=1-e^{-x}$ ．
（I）证明：当 $x>-1$ 时，$f(x) \geq \frac{x}{x+1}$ ；
（II）设当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \leq \frac{x}{a x+1}$ ，求 $a$ 的取值范围．