2016 天津卷 · 文 数学

（5分）（2016•天津）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-1, \mathrm{x} \in \mathrm{A}\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（ ）

（5分）（2016 • 天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（）

（5分）（ 2016 •天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

正视图

俯视图

（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，则双曲线的方程为

（5分）（2016•天津）设 $x>0, y \in R$ ，则＂$x>y$＂是＂$x>|y|$＂的

（5分）（ $2016 \bullet$ 天津）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，若实数 $a$ 满足 $f\left(2^{|a-1|}\right)>f(-\sqrt{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

（5分）（2016 • 天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$ ，若 $f(x$ ）在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）

（5分）（2016•天津）$i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=(2 x+1) e^{x}, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime}$ （0）的值为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为＿
$\_\_\_\_$ ．

（ 5 分）（ $2016 \bullet$ 天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 $(0, \sqrt{5})$ 圆 C 上，且圆心到直线 $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \mathrm{~B} \mathrm{D}=\mathrm{ED}$ ，则线段 CE 的长为 $\_\_\_\_$。

（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．