2016 天津卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2016•天津）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-1, \mathrm{x} \in \mathrm{A}\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（ ）

2．（5分）（2016 • 天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，甲获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲不输的概率为（）

3．（5分）（ 2016 •天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）  正视图  俯视图

4．（5分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，且双曲线的一条渐近线与直线 $2 \mathrm{x}+\mathrm{y}=0$ 垂直，则双曲线的方程为

5．（5分）（2016•天津）设 $x>0, y \in R$ ，则＂$x>y$＂是＂$x>|y|$＂的

6．（5分）（ $2016 \bullet$ 天津）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，若实数 $a$ 满足 $f\left(2^{|a-1|}\right)>f(-\sqrt{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

7．（5分）（2016 • 天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$ ，若 $f(x$ ）在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点，则 $\omega$ 的取值范围是（ ）

9．（5分）（2016•天津）$i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2$ ，则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$。

10．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=(2 x+1) e^{x}, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $f^{\prime}$ （0）的值为 $\_\_\_\_$。

11．（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为＿ $\_\_\_\_$ ． 

12．（ 5 分）（ $2016 \bullet$ 天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点 $(0, \sqrt{5})$ 圆 C 上，且圆心到直线 $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}=0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则圆 C 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \mathrm{~B} \mathrm{D}=\mathrm{ED}$ ，则线段 CE 的长为 $\_\_\_\_$。 

14．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\frac{\mathrm{x}}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

15．（13分）（2016•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 asin $2 \mathrm{~B}=\sqrt{3} \mathrm{~b} \sin \mathrm{~A}$ ． （1）求 B ； （2）已知 $\cos \mathrm{A}=\frac{1}{3}$ ，求 $\sin \mathrm{C}$ 的值．

16．（13分）（ $2016 \bullet$ 天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示： | 原料 <br> 肥料 | A | B | C | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 甲 | 4 | 8 | 3 | | 乙 | 5 | 5 | 10 | 现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料。 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润为 3 万元、分别用 x ， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数。 （1）用 x ， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润。

17．（13分）（ $2016 \bullet$ 天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 $\mathrm{AED} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E} \mathrm{F} \| \mathrm{AB}, \mathrm{AB}=2, \mathrm{DE}=3, \mathrm{BC}=\mathrm{EF}=1, \mathrm{AE}=\sqrt{6}, \angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}, \mathrm{G}$ 为 BC 的中点． （1）求证： $\mathrm{FG} \|$ 平面 BED ； （2）求证：平面 $\mathrm{BED} \perp$ 平面 AED ； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 

18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}= \frac{2}{a_{3}}, \quad S_{6}=63$. （1）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （2）若对任意的 $n \in N^{*}, b_{n}$ 是 $\log _{2} a_{n}$ 和 $\log _{2} a_{n+1}$ 的等差中项，求数列 $\left\{(-1){ }^{n} b{ }_{n}^{2}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和。

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； ②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴交于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A=\angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率．

20．（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ ，其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}$ 。 （1）求 $f(x)$ 的单调区间； （2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证：$x_{1}+2 x_{0}=0$ ； ③设 $a>0$ ，函数 $g(x)=|f(x)|$ ，求证：$g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$ ## 2016年天津市高考数学试卷（文科）