2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）设 $i$ 是虚数单位，$\overline{\mathrm{z}}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若 $z \cdot \bar{z} i+2=2 z$，则 $\mathrm{z}=$

（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

（3）在下列命题中，不是公理的是

（4）＂$a \leq 0$＂＂是函数 $f(x)=|(a x-1) x|$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调递增＂的

（5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 $86,94,88,92,90$，五名女生的成绩分别为 $88,93,93,88,93$．下列说法一定正确的是

（6）已知一元二次不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $\left\{x \mid x<-1\right.$ 或 $\left.x>\frac{1}{2}\right\}$，则 $f\left(10^{x}\right)>0$ 的解集为

（7）在极坐标系中，圆 $\rho=2 \cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为）

（8）函数 $y=f(x)$ 的图像如图所示，在区间 $[a, b]$ 上可找到 $n(n \geq 2)$ 个不同的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，使得 $\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}=\frac{f\left(x_{2}\right)}{x_{2}}=\cdots=\frac{f\left(x_{n}\right)}{x_{n}}$，则 $n$ 的取值范围为

（9）在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$，则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leq 1, \lambda, \mu \in R\}$ 所表示的区域的面积是

（10）若函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有极值点 $x_{1}, x_{2}$，且 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数是

（11）若 $\left(x+\frac{a}{\sqrt[3]{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 7，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$．

（12）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$．若 $b+c=2 a$，则 $3 \sin A=5 \sin B$ 则角 $C=$ $\_\_\_\_$．

（13）已知直线 $y=a$ 交抛物线 $y=x^{2}$ 于 $A, B$ 两点．若该抛物线上存在点 $C$，使得 $\angle A C B$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$．

（14）如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \ldots$ 和 $B_{1}, B_{2} \ldots B_{n} \ldots$ 分别在角 O 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n+1} A_{n+1}$ 的面积均相等．设 $O A_{n}=a_{n}$ 若 $a_{1}=1, a_{2}=2$ 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\_\_\_\_$．

第（1）题图

（15）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, P$ 为 $B C$ 的中点，$Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$，则下列命题正确的是 $\_\_\_\_$ （ 写出所有正确命题的编号）。

①当 $0<C Q<\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为四边形
②当 $C Q=\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为等腰梯形
（3）当 $C Q=\frac{3}{4}$ 时，$S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R=\frac{1}{3}$
（4）当 $\frac{3}{4}<C Q<1$ 时，$S$ 为六边形
（5）当 $C Q=1$ 时，$S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

（16）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=4 \cos \omega x \cdot \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$．
（I）求 $\omega$ 的值；
（II）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的单调性．

（17）（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=a x-\left(1+a^{2}\right) x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x \mid f(x)>0\}$
（I）求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha, \beta)$ 的长度定义为 $\beta-\alpha$ ）；
（II）给定常数 $k \in(0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．

（18）（本小题满分 12 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{1-a^{2}}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上
（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 1，求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$，并且 $F_{1} P \perp F_{1} Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上．

（19）（本小题满分 13 分）

如图，圆锥顶点为 $P$．底面圆心为 $O$，其母线与底面所成的角为 $22.5^{\circ} . A B$ 和 $C D$ 是底面圆 $O$ 上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$，
（I）证明：平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线平行于底面；
（II）求 $\cos \angle C O D$．

（20）（本小题满分 13 分）
设函数 $f_{x}(x)=-1+x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\ldots+\frac{x^{n}}{n^{2}}\left(x \in R, n \in N^{*}\right)$，证明：
（I）对每个 $n \in N^{*}$，存在唯一的 $x_{n} \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_{x}\left(x_{n}\right)=0$；
（II）对任意 $p \in N^{*}$，由（I）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0<x_{n}-x_{n+p}<\frac{1}{n}$．

（21）（本小题满分 13 分）
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 $n$ 位学生，每次活动均需该系 $k$ 位学生参加（ $n$ 和 $k$ 都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 $k$ 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 $x$
（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
（II）求使 $P(X=m)$ 取得最大值的整数 $m$．