2010 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．对于实数 $a, b, c$ ，＂$a>b$＂是＂$a c^{2}>b c^{2}$＂的

2．若集合 $A=\{x \| x \mid \leq 1\}, B=\{x \mid x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B=$

3．$(1-x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

4．若 $f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c$ 满足 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$

5．不等式 $|x-2|>x-2$ 的解集是

6．函数 $y=\sin ^{2} x+\sin x-1$ 的值域为

7．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$\left|a_{1}\right|=1, a_{5}=-8 a_{2}, a_{5}>a_{2}$ ，则 $a_{n}=$

8．若函数 $y=\frac{a x}{1+x}$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，则 $a$ 为

9．有 $n$ 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是 $p(0<p<1)$ ，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

10．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ 相交于 $M , N$ 两点，若 $|M N| \geqslant 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是

11．如图，$M$ 是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $D D_{1}$ 的中点，给出下列命题 （1）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交； （2）过 $M$ 点有且只有一条直线与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都垂直； （3）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都相交；  （4）过 $M$ 点有且只有一个平面与直线 $A B , B_{1} C_{1}$ 都平行． 其中真命题是：

12．如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数 $y=\sin 2 x$ ， $y=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right), y=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是  # 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） <br> 文科数学 <br> 第 II 卷 ## 注意事项： 第II卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。 ## 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。请把答案填在答题卡上

13．已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是 $\_\_\_\_$ ；

14．将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）；

15．点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2 x_{0}$ ，则 $x_{0}=$ $\_\_\_\_$ ；

16．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点均在同一个球面上，$A B=A A_{1}=1$ ， $B C=\sqrt{2}$ ，则 $A, B$ 两点间的球面距离为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ． （1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值； （2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

18．（本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道。若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止。 （1）求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率．

19．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=(1+\cot x) \sin ^{2} x-2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ ． （1）若 $\tan \alpha=2$ ，求 $f(\alpha)$ ； （2）若 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $f(x)$ 的取值范围．

20．（本小题满分 12 分） 如图，$\triangle B C D$ 与 $\triangle M C D$ 都是边长为 2 的正三角形，平面 $M C D \perp$ 平面 $B C D, A B \perp$ 平面 $B C D$ ， $A B=2 \sqrt{3}$. （1）求直线 $A M$ 与平面 $B C D$ 所成的角的大小； （2）求平面 $A C M$ 与平面 $B C D$ 所成的二面角的正弦值． 

22．（本小题满分 14 分） 正实数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{2}=5$ ，且 $\left\{a_{n}^{2}\right\}$ 成等差数列． （1）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中有无穷多项为无理数； （2）当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n}<200$ 的所有整数项的和．