2010 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．复数 $\frac{2}{1-i}$ 等于

2．下列命题中的假命题是

3．某商品销售量 $y$（件）与销售价格 $x$（元／件）负相关，则其回归方程可能是

4．极坐标 $p=\cos \theta$ 和参数方程 $\left\{\frac{x=-1-t}{y=2+t}\right.$（ t 为参数）所表示的图形分别是

5．设抛物线 $y^{2}=8 x$ 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 ，则点 P 到该抛物线焦点的距离是

6．若非零向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $|a|=|b|,(2 a+b) \cdot b=0$ ，则 a 与 b 的夹角为

7．在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角A，B，C所对的边长分别为 $a, b, c$ ，若 $\angle C=1.20^{\circ}, c=\sqrt{2} a$ ，则

8．函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}$ 与 $\mathrm{y}=\log _{\left|\frac{b}{a}\right|} x(\mathrm{ab} \neq 0,|\mathrm{a}| \neq|. \mathrm{b}|)$ 在同一直角坐标系中的图像可能是  A  B  C  D

9．已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3\},, \mathrm{B}=\{2, \mathrm{~m}, 4\}, \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{2,3\}$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$

10．已知一种材料的最佳加入量在 100 g 到 200 g 之间，若用 0.618 法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 $\_\_\_\_$ g

11．在区间 $[-1,2]$ 上随即取一个数 x ，则 $\mathrm{x} \in[0,1]$ 的概率为 $\_\_\_\_$。

12．图1是求实数 x 的绝对值的算法程序框图，则判断框（1）中可填 $\_\_\_\_$  图1  图2

14．若不同两点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 的坐标分别为（ $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ ），（3－b，3－ a），则线段 PQ 的垂直平分线I的斜率为 $\_\_\_\_$ ，圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1$ 关于直线对称的圆的方程为 $\_\_\_\_$。

15．若规定 $\mathrm{E}=\left\{a_{1}, a_{2} \ldots a_{10}\right\}$ 的子集 $\left\{a_{k_{1}} a_{k_{2}} \ldots, a_{k_{n}}\right\}$ 为 E 的第 k 个子集，其中 $\mathrm{k}=$ $2^{k_{1}}+2^{k_{2}{ }^{-1}}+\cdots+2^{k_{n}-1}$ ，则 ①$\left\{a_{1}, a_{3}\right\}$ 是 E 的第 $\_\_\_\_$个子集； （2） E 的第 211 个子集是 $\_\_\_\_$

16．（本小题满分12分） 已知函数 $f(x)=\sin 2 x-2 \sin ^{2} x$ （I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期。 （II）求函数 $f(x)$ 的最大值及 $f(x)$ 取最大值时 x 的集合。

17．（本小题满分 12 分） 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人） | 高 校 | 相关人数 | 抽取人数 | | :---: | :---: | :---: | | A | 18 | $x$ | | B | 36 | 2 | | C | 54 | $y$ | （1）求 $x, y$ ； （II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。

18．（本小题满分 12 分） 如图所示，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=1, \mathrm{AA}_{1}=2, \mathrm{M}$ 是棱 $\mathrm{CC}_{1}$ 的中点 （I）求异面直线 $A_{1} M$ 和 $C_{1} D_{1}$ 所成的角的正切值； （II）证明：平面 $A B M \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} M_{1}$

19．（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8 Km 的 A 、 B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 $A$ 、 $B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过 10 Km 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图4所示，设线段 $P_{1} P_{2}$是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2 km ，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？  四4

20．（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列：  其中表 $\mathrm{n}(\mathrm{n}=1,2,3 \cdots)$ 有 n 行，第1行的 n 个数是1，3，5，⋯2n－ 1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n ~(n \geqslant 3) ~($ 不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 $1,4,12 \cdots$ ，记此数列为 $\left\{b_{n}\right\}$ 求和：$\frac{b_{3}}{b_{1} b_{2}}+\frac{b_{4}}{b_{2} b_{3}}+\cdots \frac{b_{n+2}}{b_{n} b_{n+1}} \quad\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ．

21．（本小题满分13分） 已知函数 $f(x)=\frac{a}{x}+x+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $\mathrm{a}<0$ ，且 $\mathrm{a} \neq-1$ ． （I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性； （II）设函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X})=\left\{\begin{array}{l}\left(-2 x^{3}+3 a x^{3}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}, x \leq 1 \\ e \cdot f(x), x>1\end{array} \quad(\mathrm{e}\right.$ 是自然数的底数）。 是否存在 a ，使 $g(x)$ 在 $[\mathrm{a},-$ a］上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。 ## 2010年湖南省高考数学试卷（文科）