2015 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）已知集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{x \mid(x-1)(x+2)<0\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

2．（5分）若 $a$ 为实数，且 $(2+a i)(a-2 i)=-4 i$ ，则 $a=$

3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 

4．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{1}+a_{3}+a_{5}=21$ ，则 $a_{3}+a_{5}+a_{7}=$（）

5．（5分）设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\log _{2}(2-x), & x<1 \\ 2^{x-1}, & x \geqslant 1\end{array}\right.$ ，则 $f(-2)+f\left(\log _{2} 12\right)=$（

6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）   

7．（5分）过三点 $A(1,3), B(4,2), C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $|M N|=$（ ）

8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的＂更相减损术＂，执行该程序框图，若输入的 $a, b$ 分别为 14,18 ，则输出的 $a=$（ 

9．（5分）已知 $A$ ，$B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle A O B=90^{\circ}$ ，$C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O-A B C$ 体积的最大值为 36 ，则球 $O$ 的表面积为（）

10．（5分）如图，长方形 ABCD 的边 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{BC}=1, \mathrm{O}$ 是 AB 的中点，点 P 沿着边 B $C$ ，$C D$ 与 $D A$ 运动，记 $\angle B O P=x$ ．将动点 $P$ 到 $A$ ，$B$ 两点距离之和表示为 $x$ 的函数 $f$ （ $x$ ），则 $y=f ~(x)$ 的图象大致为（ ） 

11．（5分）已知 $A$ ，$B$ 为双曲线 $E$ 的左，右顶点，点 $M$ 在 $E$ 上，$\triangle A B M$ 为等腰三角形，顶角为 $120^{\circ}$ ，则 E 的离心率为（ ）

12．（5分）设函数 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数 $f(x)(x \in R)$ 的导函数，$f(-1)=0$ ，当 $x >0$ 时，$x f^{\prime}(x)-f(x)<0$ ，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是 $($

13．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 不平行，向量 $\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+2 \overrightarrow{\mathrm{~b}}$ 平行，则实数 $\lambda=-\frac{1}{2}$ $\_\_\_\_$ $\frac{1}{2}$ ．

14．（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x-2 y \leqslant 0 \\ x+2 y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{2}$ ．

15．（5分）$(a+x)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 $a=$ 3 ．

16．（5分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}=-1, a_{n+1}=S_{n+1} S_{n}$ ，则 $S_{n}=-\frac{1}{n}-$

17．（12分）$\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 上的点，$A D$ 平分 $\angle B A C, ~ \triangle A B D$ 面积是 $\triangle A D C$ 面积的2倍。 （1）求 $\frac{\sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{C}}$ ； （2）若 $\mathrm{AD}=1, ~ \mathrm{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 BD 和 AC 的长．

18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区： 62738192958574645376 78869566977888827689 B地区： 73836251914653736482 93486581745654766579 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即 可）； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： | 满意度评分 | 低于70分 | 70 分到89分 | 不低于90分 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 | 记事件C：＂A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级＂，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率． | A地区 | | B地区 | | :--- | :--- | :--- | | | 4 | | | | 5 | | | | 6 | | | | 7 | | | | 8 | | | | 9 | |

19．（12分）如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=16, B C=10, A A_{1}=8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上，$A_{1} E=D_{1} F=4$ ，过点 $E$ ，$F$ 的平面 $\alpha$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线 AF 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值． 

20．（12分）已知椭圆C： $9 x^{2}+y^{2}=m^{2} ~(m>0) ~$ ，直线 $I$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， I 与 C 有两个交点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ，线段 AB 的中点为 M ． （1）证明：直线 $O M$ 的斜率与 $I$ 的斜率的乘积为定值； （2）若I过点 $\left(\frac{m}{3}, m\right)$ ，延长线段 $O M$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $O A P B$ 能否为平行四 边形？若能，求此时I的斜率；若不能，说明理由．

21．（12分）设函数 $f(x)=e^{m x}+x^{2}-m x$ 。 （1）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减，在 $(0,+\infty)$ 单调递增； （2）若对于任意 $x_{1}, x_{2} \in[-1,1]$ ，都有 $\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq e-1$ ，求 $m$ 的取值范围．

22．（10分）如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点，$\odot \mathrm{O}$ 与 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的底边 BC 交于 M ，$N$ 两点，与底边上的高 $A D$ 交于点 $G$ ，且与 $A B, A C$ 分别相切于 $E, F$ 两点． （1）证明：$E F \| B C$ ； （2）若 $A G$ 等于 $\odot O$ 的半径，且 $A E=M N=2 \sqrt{3}$ ，求四边形EBCF的面积． 

23．在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$t \neq 0$ ），其中 $0 \leq \alpha \leq \pi$ ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=2 \sin \theta, \mathrm{C}_{3}: \rho= 2 \sqrt{3} \cos \theta$ ． （1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 与 $\mathrm{C}_{3}$ 交点的直角坐标； （2）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A, C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$ ，求 $|A B|$ 的最大值．

24．设 $a, b, c, d$ 均为正数，且 $a+b=c+d$ ，证明： （1）若 $a b>c d$ ，则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ ； ②$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{c}+\sqrt{d}$ 是 $|a-b|<|c-d|$ 的充要条件。