2019 新课标 II 卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{x \mid x>-1\}, B=\{x \mid x<2\}$ ，则 $A \cap B=$

1.已知集合 ={ | 1 }A x x> -， { | $2}B x x= <$，则A∩$B=$

2．设 $z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})$ ，则 $\bar{z}=$

3．已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,3), \boldsymbol{b}=(3,2)$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

4．生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为

5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次
序为

5．在＂一带一路＂知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高。
乙：丙的成绩比我和甲的都高。
丙：我的成绩比乙高。
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

6．设 $f(x)$ 为奇函数，且当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=e^{x}-1$ ，则当 $x<0$ 时，$f(x)=$

7．设 $\alpha, \beta$ 为两个平面，则 $\alpha / / \beta$ 的充要条件是

8．若 $x_{1}=\frac{\pi}{4}, x_{2}=\frac{3 \pi}{4}$ 是函数 $f(x)=\sin \omega x(\omega>0)$ 两个相邻的极值点，则 $\omega=$

9．若抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点是椭圆 $\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$ 的一个焦点，则 $p=$

10．曲线 $y=2 \sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为

11．已知 $a \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \sin 2 \alpha=\cos 2 \alpha+1$ ，则 $\sin \alpha=$

12．设 $F$ 为双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点，$O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 交于 $P , Q$ 两点．若 $|P Q|=|O F|$ ，则 $C$ 的离心率为

13．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-6 \geq 0, \\ x+y-3 \leq 0, \\ y-2 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为 0.98 ，有 10 个车次的正点率为 0.99 ，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 $\_\_\_\_$ ．

15．V $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $b \sin A+a \cos B=0$ ，则 $B=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ －

16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是＂半正多面体＂（图1）。半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图2是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 －则该半正多面体共有 $\_\_\_\_$个面，其棱长为 $\_\_\_\_$。

图 1

图2

17．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，$B E \perp E C_{1}$ ．

（1）证明：$B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $A E=A_{1} E, A B=3$ ，求四棱锥 $E-B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

18．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_{1}=2, a_{3}=2 a_{2}+16$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=\log _{2} a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 $y$ 的频数分布表。

（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 $40 \%$ 的企业比例、产值负增长的企业比例 ；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。（精确到 0.01 ）

附：$\sqrt{74} \approx 8.602$ ．

20．已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，$O$ 为坐标原点
（1）若 $\mathrm{V} P O F_{2}$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$ ，使得 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，且 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 的面积等于 16 ，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．

21．已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x-x-1$ ．证明：
①$f(x)$ 存在唯一的极值点；

②$f(x)=0$ 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

22．［选修4－4：坐标系与参数方程］
在极坐标系中，$O$ 为极点，点 $M\left(\rho_{0}, \theta_{0}\right)\left(\rho_{0}>0\right)$ 在曲线 $C: \rho=4 \sin \theta$ 上，直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为 $P$ ．
①当 $\theta_{0}=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\rho_{0}$ 及 $l$ 的极坐标方程；
②当 $M$ 在 $C$ 上运动且 $P$ 在线段 $O M$ 上时，求 $P$ 点轨迹的极坐标方程．

23．［选修4－5：不等式选讲］
已知 $f(x)=|x-a| x+|x-2|(x-a)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)<0$ 的解集；
（2）若 $x \in(-\infty, 1)$ 时，$f(x)<0$ ，求 $a$ 的取值范围．