2019 浙江卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知全集 $U=\{-1,0,1,2,3\}$ ，集合 $A=\{0,1,2\}, B=\{-1,0,1\}$ ，则 $\left(\mathrm{C}_{\mathrm{U}} A\right) \cap B=$（）

2．渐近线方程为 $x \pm y=0$ 的双曲线的离心率是（ ）

3．若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-3 y+4 \geq 0 \\ 3 x-y-4 \leq 0 \\ x+y \geq 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x+2 y$ 的最大值是（ ）

4．祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家。他提出的＂幂势既同，则积不容易＂称为祖晅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V_{\text {柱体 }}=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

正家国

5．若 $a>0, b>0$ ，则＂$a+b \leq 4$＂是＂$a b \leq 4$＂的

6．在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（ ）

7．设 $0<a<1$ ，则随机变量 $X$ 的分布列是：

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时

8．设三棱锥 $V-A B C$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等，$P$ 是棱 $V A$ 上的点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角为 $\alpha$ ，直线 $E$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$ ，二面角 $P-A C-B$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

9．已知 $a, b \in R$, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x<0 \\ \frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0\end{array}\right.$ ，若函数 $y=f(x)-a x-b$ 恰有三个零点，则

10．设 $a, b \in R$ ，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=a, a_{n+1}=a_{n}{ }^{2}+b, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，则（ ）

11．复数 $z=\frac{1}{1+i}$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$

12．已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，半径长是 $r$ ．若直线 $2 x-y+3=0$ 与圆相切于点 $A(-2,-1)$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ，$r=$ $\_\_\_\_$ ．

13.在二项式 9( 2 )x+的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.

13．在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是 $\_\_\_\_$ ；系数为有理数的项的个数是 $\_\_\_\_$ ．

14．在 $\mathrm{V} A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $\angle B D C=45^{\circ}$ ，则
$B D=$ $\_\_\_\_$ ； $\cos \angle A B D=$ $\_\_\_\_$ ．

15．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴的上方，若线段 $P F$ 的中点在以原点 $O$ 为圆心，$|O F|$ 为半径的圆上，则直线 $P F$ 的斜率是 $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $a \in R$ ，函数 $f(x)=a x^{3}-x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $|f(t+2)-f(t)| \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

17．已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ，当每个 $\lambda_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\left|\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{B C}+\lambda_{3} \overrightarrow{C D}+\lambda_{4} \overrightarrow{D A}+\lambda_{5} \overrightarrow{A C}+\lambda_{6} \overrightarrow{B D}\right|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ；最大值是 $\_\_\_\_$ ．

18．设函数 $f(x)=\sin x, x \in \mathbf{R}$ ．
（1）已知 $\theta \in[0,2 \pi)$ ，函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；
（2）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域．

19．如图，已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}$ ， $\angle B A C=30^{\circ}, A_{1} A=A_{1} C=A C, E, F$ 分别是 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点．

（1）证明：$E F \perp B C$ ；
（2）求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值．

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$ ，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：对每 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$C_{1}+C_{2}+\cdots+C_{n}<2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$ ．

21．如图，已知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ ，点 $F$ 为焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A B$ 两点，点 $C$在抛物线上，使得 $\mathrm{V} A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧．记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ．

（1）求 $p$ 的值及抛物线的标准方程；
（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标．

22．已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{x+1}, x>0$ ．
（1）当 $a=-\frac{3}{4}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ ，求 $a$ 的取值范围．
注： $\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 为自然对数的底数．