2008 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $M=x=\left\{x \left\lvert\, \frac{x+3}{x-1}<0\right.\right\}, N=\{x \mid x \leqslant-3\}$ ，则集合 $\{x \mid x \geqslant 1\}=()$

2． $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+3+5+\cdots+(2 n-1)}{n(2 n+1)}=$

3．圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 与直线 $y=k x+2$ 没有公共点的充要条件是

4．复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2 i}$ 的虚部是

5．已知 $O, A, B$ 是平面上的三个点，直线 $A B$ 上有一点 $C$ ，满足 $2 \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=0$ ，则 $\overrightarrow{O C}=$（ ）

6．设 $P$ 为曲线 $C: y=x^{2}+2 x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ ，则点 $P$ 横坐标的取值范围为

7． 4 张卡片上分别写有数字 $1,2,3,4$ ，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为

8．将函数 $y=2^{x}+1$ 的图象按向量 $\boldsymbol{a}$ 平移得到函数 $y=2^{x+1}$ 的图象，则

9．一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看。现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有

10．已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2}=2 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0,2)$ 的距离与 $P$ 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

11．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为棱 $A A_{1}, C C_{1}$ 的中点，则在空间中与三条直线 $A_{1} D_{1}$、 $E F , C D$ 都相交的直线

12．设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是单调函数，则满足 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$ 的所有 $x$ 之和为

13．函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x+1, x<0, \\ e^{x}, x \geqslant 0\end{array}\right.$ 的反函数是 $\_\_\_\_$ .

14．在体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ 的球的表面上有 $A, B, C$ 三点，$A B=1, B C=\sqrt{2}, A, C$ 两点的球面距离 为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$ ，则球心到平面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$ .

15．已知 $\left(1+x+x^{2}\right)\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 的展开式中没有常数项，$n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $2 \leqslant n \leqslant 8$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0), f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ，且 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ 有最小值，无最大值，则 $\omega=$ $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对边的边长分别是 $a, b, c$ ，已知 $c=2, C=\frac{\pi}{3}$ ． （I）若 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求 $a, b$ ； （II）若 $\sin C+\sin (B-A)=2 \sin 2 A$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积．

18．（本小题满分 12 分） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100 周的统计结果如下表所示： | 周销售量 | 2 | 3 | 4 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频数 | 20 | 50 | 30 | （I）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨， 3 吨和 4 吨的频率； （II）已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，$\xi$ 表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $\xi$ 的分布列和数学期望．

19．（本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中，$A P=B Q=b(0<b<1)$ ，截面 $P Q E F / / A^{\prime} D$ ，截面 $P Q G H / / A D^{\prime}$ 。 （ I ）证明：平面 $P Q E F$ 和平面 $P Q G H$ 互相垂直； （II）证明：截面 $P Q E F$ 和截面 $P Q G H$ 面积之和是定值，并求出这个值； （III）若 $D^{\prime} E$ 与平面 $P Q E F$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求 $D^{\prime} E$ 与平面PQGH所成角的正弦值． 

20．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于 4 ，设点 $P$ 的轨迹 为 $C$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点． （ I ）写出 $C$ 的方程； （II）若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，求 $k$ 的值； （III）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．

21．（本小题满分 12 分） 在数列 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 中，$a_{1}=2, b_{1}=4$ ，且 $a_{n}, b_{n}, a_{n+1}$ 成等差数列，$b_{n}, a_{n+1}, b_{n+1}$ 成等比数列 $\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ （I）求 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 及 $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，由此猜测 $\left|a_{n}\right|,\left|b_{n}\right|$ 的通项公式，并证明你的结论； （II）证明：$\frac{1}{a_{1}+b_{1}}+\frac{1}{a_{2}+b_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}+b_{n}}<\frac{5}{12}$ ．

22．（本小题满分 14 分） 设函数 $f(x)=\frac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$ ． （I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值； （II）是否存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，试说明理由．