2015 天津卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ ，集合 $\mathrm{A}=\{2,3,5,6\}$ ，集合 $\mathrm{B}=\{1,3,4,6,7\}$ ，则集合 $\mathrm{A} \cap \mathrm{C}_{\mathrm{U}} \mathrm{B}=$

2．设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 \geq 0 . \\ x-y+3 \geq 0 . \text { 则目标函数 } z=x+6 y \text { 的最大值为 } \\ 2 x+y-3 \leq 0 .\end{array}\right.$

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为

否

4．设 $x \in R$ ，则＂$|x-2|<1$＂是＂$x^{2}+x-2>0$＂的

输出 S

输出 S

5．如图，在圆 $O$ 中，$M, \mathrm{~N}$ 是弦 $A B$ 的三等分点，弦 $C D, C E$ 分别经过点 $M, \mathrm{~N}$ ，若 $C M=2, M D=4, C N=3$ ，则线段 $N E$ 的长为

6．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, \mathrm{~b}>0)$ 的一条渐近线过点（ $2, \sqrt{3}$ ），且双曲线的一个焦点在抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{7} x$ 的准线上，则双曲线的方程为

7．已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)=2^{|x-m|}-1$（ $m$ 为实数）为偶函数，记 $a=f\left(\log _{0.5} 3\right), b=f\left(\log _{2} 5\right)$ ， $c=f(2 m)$ ，则 $a, \mathrm{~b}, \mathrm{c}$ 的大小关系为

8．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-|x|, x \leq 2, \\ (x-2)^{2}, x>2,\end{array}\right.$ 函数 $g(x)=b-f(2-x)$ ，其中 $b \in R$ ，若函数 $y=f(x)-g(x)$ 恰有 4 个零点，则 $b$ 的取值范围是（ ）

9．$i$ 是虚数单位，若复数 $(1-2 i)(a+i)$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

11．曲线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=x$ 所围成的封闭图形的面积

侧视图

为 $\_\_\_\_$ ．

12．在 $\left(x-\frac{1}{4 x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．

13 ．在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{15}$ ， $b-c=2, \cos A=-\frac{1}{4}$ ，则 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

14．在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / D C, A B=2, B C=1, \angle A B C=60^{\circ}$ 。动点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\frac{1}{9 \lambda} \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

15．已知函数 $f(\mathrm{x})=\sin ^{2} x-\sin ^{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right), x \in R$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]$ 内的最大值和最小值．

16．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加。现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名。从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛。
（I）设 A 为事件＂选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会＂，求事件 A发生的概率；
（II）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．

17．如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A \perp$ 底面 $A B C D, A B \perp A C, A B=1, A C=A A_{1}=2, A D=C D=\sqrt{5}$ ，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点．
（ I ）求证：$M N \|$ 平面 $A B C D$ ；
（II）求二面角 $D_{1}-A C-B_{1}$ 的正弦值；

（III）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点。若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长。

18．已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=q a_{n}$（ $q$ 为实数，且 $q \neq 1$ ），$n \in N^{*}, a_{1}=1, a_{2}=2$ ，且 $a_{2}+a_{1}, a_{3}+a_{4}$ ， $a_{4}+a_{5}$ 成等差数列。
（I）求 $q$ 的值和 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{\log _{2} a_{2 n}}{a_{2 n-1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

19．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F(-c, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2}+y^{2}=\frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c,|F M|=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（I）求直线 $F M$ 的斜率；
（II）求椭圆的方程；
（III）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$（ $O$ 为原点）的斜率的取值范围。

20．已知函数 $f(x)=n x-x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．
（I）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）设曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y=g(x)$ ，
求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f(x) \leq g(x)$ ；
（III）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=a$（ $a$ 为实数）有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ ，求证：$\left|x_{2}-x_{1}\right|<\frac{a}{1-n}+2$ ．

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