2016 天津卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2016•天津）已知集合 $\mathrm{A}=\{1,2,3,4\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=3 \mathrm{x}-2, \mathrm{x} \in \mathrm{A}\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$（ ）

2．（5分）（2016•天津）设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+2 \geqslant 0 \\ 2 x+3 y-6 \geqslant 0, \\ 3 x+2 y-9 \leqslant 0\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=2 x+5 y$的最小值为（ ）

3．（5分）（2016•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，若 $\mathrm{AB}=\sqrt{13}, \mathrm{BC}=3, \angle \mathrm{C}=120^{\circ}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

4．（5分）（2016•天津）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（） 

5．（5分）（2016•天津）设 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 q ，则＂ $\mathrm{q}<0$＂是＂对任意的正整数 $\mathrm{n}, ~ \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}-1^{+}} \mathrm{a}_{2 \mathrm{n}}<0^{\prime \prime}$ 的（ ）

6．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，四边形 ABCD 的面积为 2 b ，则双曲线的方程为（ ）

7．（5分）（2016•天津）已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 分别是边 $\mathrm{AB} , \mathrm{BC}$的中点，连接 DE 并延长到点 F ，使得 $\mathrm{DE}=2 \mathrm{EF}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的值为（）

8．（5分）（2016•天津）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(4 a-3) x+3 a, x<0 \\ \log _{a}(x+1)+1, x \geqslant 0\end{array}(a>0\right.$, 且 $a \neq 1)$在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 $|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=2-\mathrm{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（）

9．（5分）（2016•天津）已知 $a, b \in R, i$ 是虚数单位，若 $(1+i)(1-b i)=a$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为

10．（ 5 分）（ $2016 \bullet$ 天津）$\left(\mathrm{x}^{2}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{7}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

11．（5分）（2016•天津）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：$m$ ），则该四棱锥的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$  正视图  俯视图  侧视图

12．（5分）（2016•天津）如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 $\mathrm{E}, ~ \mathrm{BE}=2 \mathrm{AE}=2, \mathrm{~B} \mathrm{D}=\mathrm{ED}$ ，则线段 CE 的长为 $\_\_\_\_$。 

13．（5分）（2016•天津）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 $(-\infty, 0)$ 上单调递增，若实数 a 满足 $\mathrm{f}\left(2^{|\mathrm{a}-1|}\right)>\mathrm{f}(-\sqrt{2})$ ，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

14．（5分）（2016•天津）设抛物线 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2 \mathrm{p} \mathrm{t}^{2} \\ \mathrm{y}=2 \mathrm{pt}\end{array}\right.$（t为参数， $\mathrm{p}>0$ ）的焦点为 F ，准线为 l ，过抛物线上一点 A 作 1 的垂线，垂足为 B ，设 $\mathrm{C}\left(\frac{7}{2} \mathrm{p}, 0\right), \mathrm{AF}$ 与 BC 相交于点 E ．若 $|\mathrm{CF}|=2 \mid \mathrm{AF} \mid$ ，且 $\triangle \mathrm{ACE}$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 p 的值为 $\_\_\_\_$ ． ## 三、计算题

15．（13分）（2016•天津）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \tan \mathrm{x} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right) \cos \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}$ ． （1）求 $f$（ x ）的定义域与最小正周期； （2）讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调性。

16．（13分）（ 2016 •天津）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 $1,2,3$ 的人数分别为 $3,3,4$ ，现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会． （1）设A为事件＂选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ＂，求事件A发生的概率； ②设 $X$ 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 －

17．（13分）（2016•天津）如图，正方形 ABCD 的中心为 O ，四边形 OBEF 为矩形，平面 O $\mathrm{BEF} \perp$ 平面 ABCD ，点 G 为 AB 的中点， $\mathrm{AB}=\mathrm{BE}=2$ ． （1）求证： $\mathrm{EG} / /$ 平面 ADF ； （2）求二面角 $\mathrm{O}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的正弦值； （3）设 H 为线段 AF 上的点，且 $\mathrm{AH}=\frac{2}{3} \mathrm{HF}$ ，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值． 

18．（13分）（2016•天津）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 $\mathrm{n} \in N^{+}, b_{n}$ 是 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 的等比中项。 （1）设 $\mathrm{c}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}{ }_{\mathrm{n}+1}^{2}-\mathrm{b} \frac{2}{\mathrm{n}}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}^{+}$，求证：数列 $\left\{\mathrm{c}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列； （2）设 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{d}, \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{2 \mathrm{n}}(-1){ }^{\mathrm{k}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}^{2}, n \in \mathrm{~N}^{*}$ ，求证：$\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \frac{1}{\mathrm{~T}_{\mathrm{k}}}<\frac{1}{2 \mathrm{~d}^{2}}$ ．

19．（14分）（2016•天津）设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为A．已知 $\frac{1}{|O F|}+\frac{1}{|O A|}=\frac{3 e}{|F A|}$ ，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； ②设过点 A 的直线 $l$ 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 1 的直线与 1 交于点 M ，与 y 轴于点 $H$ ，若 $B F \perp H F$ ，且 $\angle M O A \leqslant \angle M A O$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围．

20．（14分）（2016•天津）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1)^{3}-\mathrm{ax}-\mathrm{b}, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$，其中 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b} \in \mathrm{R}$。 （1）求 $f(x)$ 的单调区间； （2）若 $f(x)$ 存在极值点 $x_{0}$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right)$，其中 $x_{1} \neq x_{0}$，求证：$x_{1}+2 x_{0}=3$； ③设 $\mathrm{a}>0$，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=|\mathrm{f}(\mathrm{x})|$，求证： $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$． ## 2016年天津市高考数学试卷（理科）