2019 江苏卷 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．已知集合 $A=\{-1,0,1,6\}, B=\{x \mid x>0, x \in \mathbf{R}\}$ ，则 $A \cap B=$

2．已知复数 $(a+2 i)(1+i)$ 的实部为 0 ，其中 $i$ 为虚数单位，则实数 $a$ 的值是

3．下图是一个算法流程图，则输出的 $S$ 的值是 

4．函数 $y=\sqrt{7+6 x-x^{2}}$ 的定义域是 $\boldsymbol{\Delta}$ ．

5．已知一组数据 $6,7,8,8,9,10$ ，则该组数据的方差是 $\boldsymbol{A}$ ．

6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 A．

7．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 经过点 $(3,4)$ ，则该双曲线的渐近线方程是 A．

8．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 是等差数列，$S_{n}$ 是其前 $n$ 项和．若 $a_{2} a_{5}+a_{8}=0, S_{9}=27$ ，则 $S_{8}$ 的值是 A．

9．如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积是 $120, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E-B C D$ 的体积是 － 

10．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$P$ 是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点 $P$ 到直线 $x+y=0$ 的距离的最小值是 $\boldsymbol{\Delta}$ 。

11．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点（－e，－ 1）（ $e$ 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是－

12．如图，在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 的中点，$E$ 在边 $A B$ 上，$B E=2 E A, A D$ 与 $C E$ 交于点 $O$ ．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=6 \overrightarrow{A O} \cdot \overrightarrow{E C}$ ，则 $\frac{A B}{A C}$ 的值是 $\underline{\Delta}$ ． 

13．已知 $\frac{\tan \alpha}{\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{2}{3}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值是 $\underline{\mathbf{A}}$ ．

14．设 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的两个周期函数，$f(x)$ 的周期为 $4, g(x)$ 的周期为 2 ，且 $f(x)$ 是奇函数． 当 $x \in(0,2]$ 时，$f(x)=\sqrt{1-(x-1)^{2}}, g(x)=\left\{\begin{array}{l}k(x+2), 0<x \leq 1 \\ -\frac{1}{2}, 1<x \leq 2\end{array}\right.$ ，其中 $k>0$ 。若在区间 $(0,9]$ 上，关 于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 有 8 个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围是 $\boldsymbol{\Delta}$ ．

15．（本小题满分 14 分） 在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ． （1）若 $a=3 c, b=\sqrt{2}, \cos B=\frac{2}{3}$ ，求 $c$ 的值； （2）若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2 b}$ ，求 $\sin \left(B+\frac{\pi}{2}\right)$ 的值．

16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点，$A B=B C$ ． 求证：（1）$A_{1} B_{1} / /$ 平面 $D E C_{1}$ ； ②$B E \perp C_{1} E$ ． 

17．（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ． 已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ． （1）求椭圆 $C$ 的标准方程； （2）求点 $E$ 的坐标． 

18．（本小题满分 16 分） 如图，一个湖的边界是圆心为 $O$ 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 $l$ ，湖上有桥 $A B$（ $A B$ 是圆 $O$ 的直径） －规划在公路 $l$ 上选两个点 $P , Q$ ，并修建两段直线型道路 $P B , Q A$ 。规划要求：线段 $P B , Q A$ 上的所有点到点 $O$ 的距离均不小于圆 $O$ 的半径．已知点 $A , B$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $A C$ 和 $B D$（ $C , D$ 为垂足），测得 $A B=10, A C=6, B D=12$（单位：百米）． （1）若道路 $P B$ 与桥 $A B$ 垂直，求道路 $P B$ 的长； （2）在规划要求下，$P$ 和 $Q$ 中能否有一个点选在 $D$ 处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路 $P B$ 和 $Q A$ 的长度均为 $d$（单位：百米）．求当 $d$ 最小时，$P , Q$ 两点间的距离 

19．（本小题满分 16 分） 设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c \in \mathrm{R} , f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数． （1）若 $a=b=c, f(4)=8$ ，求 $a$ 的值； （2）若 $a \neq b, b=c$ ，且 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值； （3）若 $a=0,0<b, 1, c=1$ ，且 $f(x)$ 的极大值为 $M$ ，求证：$M \leqslant \frac{4}{27}$ ．

20．（本小满分 16 分） 定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂M一数列＂。 （1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂ M 一数列＂ （2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和． （1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式； ②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$成立，求 $m$ 的最大值． ## 数学 II（附加题）

21．【选做题】本题包括 $\mathbf{A , B , C}$ 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．［选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分 10 分） 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ （1）求 $A^{2}$ ； （2）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． B．［选修4－4：坐标系与参数方程］（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知两点 $A\left(3, \frac{\pi}{4}\right), B\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=3$ ． （1）求 $A, B$ 两点间的距离；（2）求点 $B$ 到直线 $l$ 的距离． C．［选修4－5：不等式选讲］（本小题满分 10 分） 设 $x \in \mathbf{R}$ ，解不等式 $|x|+|2 x-1|>2$ ． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分 10 分）设 $(1+x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}, n \ldots 4, n \in \mathbf{N}^{*}$ 。已知 $a_{3}^{2}=2 a_{2} a_{4}$ ． （1）求 $n$ 的值； ②设 $(1+\sqrt{3})^{n}=a+b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in \mathbf{N}^{*}$ ，求 $a^{2}-3 b^{2}$ 的值．

23．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ， $B_{n}=\{(0,1),(n, 1)\}, C_{n}=\{(0,2),(1,2),(2,2), \cdots,(n, 2)\}, n \in \mathbf{N}^{*}$. 令 $M_{n}=A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ 。从集合 $M_{n}$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离． （1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布； （2）对给定的正整数 $n(n \geq 3)$ ，求概率 $P(X \leq n)$（用 $n$ 表示）． # 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） <br> 数学 I <br> 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 样本数据 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 的方差 $s^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ 。 柱体的体积 $V=S h$ ，其中 $S$ 是柱体的底面积，$h$ 是柱体的高． 锥体的体积 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 是锥体的底面积，$h$ 是锥体的高。