2009 新课标卷（旧） · 文 数学　·　真题与答案解析

（1） 已知集合 $1,3,5,7,9 , 0,3,6,9,12A B= =,$则 $A B=I$

（5）已知圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线 $x-y-1=0$ 对称，则圆 $C_{2}$的方程为

（6）设 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \geq 4, \\ x-y \geq 1, \\ x-2 y \leq 2,\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$

（7）已知 $a=(-3,2), b=(-1,0)$ ，向量 $\lambda a+b$ 与 $a-2 b$ 垂直，则实数 $\lambda$ 的值为

（8）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0, S_{2 m-1}=38$ ，则 $m=$

（9）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为 1 ，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，且 $E F=\frac{1}{2}$ ，则下列结论中错误的是

（10）如果执行右边的程序框图，输入 $x=-2, h=0.5$ ，那么输出的各个数的和等于

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： $\mathrm{cm}^{2}$ ）

为（A） $48+12 \sqrt{2}$
（B） $48+24 \sqrt{2}$
（C） $36+12 \sqrt{2}$
（D） $36+24 \sqrt{2}$

（12）用 $\min \{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 三个数中的最小值。设

$ f(x)=\min \left\{2^{x}, x+2,10-x\right\} $

$(\mathrm{x} \geq 0)$ ，则 $f(x)$ 的最大值为

（13）曲线 $y=x e^{x}+2 x+1$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

（14）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 与抛物线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 ，若 $P(2,2)$ 为 $A B$ 的中点，则抛物线 C 的方程为 $\_\_\_\_$。

（15）等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q>0$ ，已知 $a_{2}=1, a_{n+2}+a_{n+1}=6 a_{n}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和 $S_{4}=$。

（16）已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\phi)$ 的图像如图所示，则 $f\left(\frac{7 \pi}{12}\right)=$ $\_\_\_\_$。

（17）（本小题满分 12 分）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三点进行测量，已知 $A B=50 m, B C=120 m$ ，于 A 处测得水深 $A D=80 m$ ，于 B 处测得水深 $B E=200 m$ ，于 C 处测得水深 $C F=110 m$ ，求 $\angle D E F$ 的余弦值。

（18）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$\triangle P A B$ 是等边三角形，$\angle P A C=\angle P B C=90^{\circ}$
（ I ）证明：$A B \perp P C$
（II）若 $P C=4$ ，且平面 $P A C \perp$ 平面 $P B C$ ，求三棱锥 $P-A B C$ 体积

（19）（本小题满分12分）
某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外 750 名工人参加过长期培训（称为B类工人）。现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（I）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（II）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：

表2：

（1）先确定 $x, y$ ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

面 $1 \quad a$ 类工人生产能力的线率分布直方管

㠇2 B尖工人生产治力的斯丰分寿苴方图

（ii）分别估计 $A$ 类工人和 $B$ 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。

（20）（本小题满分 12 分）
已知椭圆 $C$ 的中心为直角坐标系 $x O y$ 的原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是 7 和 1
（I）求椭圆 $C$ 的方程
（II）若 $P$ 为椭圆 $C$ 的动点，$M$ 为过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上的点，$\frac{|O P|}{|O M|}=e$
（e为椭圆 C 的离心率），求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}$ ．
①设 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $a>\frac{1}{4}$ ，且当 $x \in[1,4 a]$ 时，$\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 12 \mathrm{a}$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围．

（22）（本小题满分 10 分）选修 4－1；几何证明选讲
如图，已知 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中的两条角平分线 $A D$ 和 $C E$ 相交于 $H$ ， $\angle \mathrm{B}=60^{\circ}, F$ 在 $A C$ 上，且 $A E=A F$ 。
（1）证明：$B, D, H, E$ 四点共圆；

（2）证明： CE 平分 $\angle \mathrm{DEF}$ 。

（23）（本小题满分 10 分）选修4－4：坐标系与参数方程。
已知曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-4+\cos t, \\ y=3+\sin t,\end{array}\right.$（t为参数）， $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=8 \cos \theta, \\ y=3 \sin \theta,\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）。
（1）化 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 上的点 P 对应的参数为 $t=\frac{\pi}{2}, \mathrm{Q}$ 为 $\mathrm{C}_{2}$ 上的动点，求 $P Q$ 中点 $M$ 到直线 $C_{3}:\left\{\begin{array}{l}x=3+2 t, \\ y=-2+t\end{array}\right.$（t为参数）距离的最小值。

（24）（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲
如图，$O$ 为数轴的原点，$A, B, M$ 为数轴上三点，$C$ 为线段 $O M$ 上的动点，设 $x$ 表示 $C$与原点的距离，$y$ 表示 $C$ 到 $A$ 距离4倍与 $C$ 到 $B$ 距离的6倍的和．
（1）将 $y$ 表示为 $x$ 的函数；
（2）要使 $y$ 的值不超过 70 ，$x$ 应该在什么范围内取值？