2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）设 $i$ 是虚数单位，若复数 $a-\frac{10}{3-i}(a \in R)$ 是纯虚数，则 $a$ 的值为

（2）已知 $A=\{x \mid x+1>0\}, B=\{-2,-1,0,1\}$，则 $\left(C_{R} A\right) \cap B=$

（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

（4）＂$(2 x-1) x=0$＂是＂$x=0$＂的

（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

（6）直线 $x+2 y-5+\sqrt{5}=0$ 被圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y=0$ 截得的弦长为

（7）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{8}=4 a_{3}, a_{7}=-2$，则 $a_{9}=$

（8）函数 $y=f(x)$ 的图像如图所示，在区间 $[a, b]$ 上可找到 $n(n \geq 2)$ 个不同的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，使得 $\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}=\frac{f\left(x_{2}\right)}{x_{2}}=\cdots=\frac{f\left(x_{n}\right)}{x_{n}}$，则 $n$ 的取值范围为

（9）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$，若 $b+c=2 a, 3 \sin A=5 \sin B$，则角 $C=$

（10）．已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$，若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}<x_{2}$，则关于 $x$ 的方程
$3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为

（11）函数 $y=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-x^{2}}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$．

（12）若非负数变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geq-1 \\ x+2 y \leq 4\end{array}\right.$，则 $x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

（13）若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2 \vec{b}|$，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$．

（14）定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=2 f(x)$。若当 $0 \leq x \leq 1$ 时。 $f(x)=x(1-x)$，则当 $-1 \leq x \leq 0$ 时，$f(x)=$

（15）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, P$ 为 $B C$ 的中点，$Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$，则下列命题正确的是 $\_\_\_\_$ （ 写出所有正确命题的编号）。

①当 $0<C Q<\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为四边形
②当 $C Q=\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为等腰梯形

（3）当 $C Q=\frac{3}{4}$ 时，$S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R=\frac{1}{3}$
（4）当 $\frac{3}{4}<C Q<1$ 时，$S$ 为六边形
（5）当 $C Q=1$ 时，$S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

（19）（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数

$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

（20）（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=a x-\left(1+a^{2}\right) x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x \mid f(x)>0\}$．
（I）求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha, \beta)$ 的长度定义为 $\beta-\alpha$；
（II）给定常数 $k \in(0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．

（21）（本小题满分 13 分）
已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4，且过点 $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$．
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）设 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x_{0} y_{0} \neq 0\right)$ 为椭圆 $C$ 上一点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$。取点 $A(0,2 \sqrt{2})$，连接 $A E$，过点 $A$ 作 $A E$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $D$。点 $G$ 是点 $D$ 关于 $y$ 轴的对称点，作直线 $Q G$，问这样作出的直线 $Q G$ 是否与椭圆 $C$ 一定有唯一的公共点？并说明理由．