2011 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）（2011•陕西）设 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 是向量，命题＂若 $\vec{a} \neq-\vec{b}$ ，则 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$＂的逆命题是

2．（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $\mathrm{x}=-2$ ，则抛物线的方程是

3．（5分）（2011•陕西）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 满足 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ ，则 $y=f(x)$ 的图象可能是

4．（5分）（2011•陕西）$\left(x^{2}-x^{-4}\right)^{6}(x \in R)$ 展开式中的常数项是
A．-20 B ．
B．-15 C .15
D． 20

5．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

主视图

左视图

俯视图

6．（5分）（2011•陕西）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\cos \mathrm{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 内（ ）

7．（5分）（2011•陕西）设集合 $M=\left\{y\left|y=\left|\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right|, x \in R\right\}, ~ N=\left\{\left.x \| x-\frac{1}{i} \right\rvert\,<\sqrt{2}\right.\right.$ ，i为虚数单位，$x \in R\}$ ，则 $M \cap N$ 为（ ）

8．（5分）（2011•陕西）如图中， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，$P$ 为该题的最终得分．当 $x_{1}=6, x_{2}=9, p=8.5$ 时，$x_{3}$ 等于

9．（5分）（2011•陕西）设 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), ~\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right), \ldots, ~\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 1 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）

10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游＂2011西安世园会＂，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）

11．（5分）（2011•陕西）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg x, x>0 \\ x+\int{ }_{0}^{a} 3 t^{2} d t, x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，若 $f(f(1))=1$ ，则 $a=$ 1 ．

12．（5分）（2011•陕西）设 $n \in N_{+}$，一元二次方程 $x^{2}-4 x+n=0$ 有整数根的充要条件是 $n=$ 3或4。

13．（5分）（2011•陕西）观察下列等式
$1=1$
$2+3+4=9$
$3+4+5+6+7=25$

$4+5+6+7+8+9+10=49$
．．．
照此规律，第 $n$ 个等式为 $n+(n+1)+(n+2)+\ldots+(3 n-2)=(2 n-1)^{2}$ 。

14．（5分）（2011•陕西）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 $\_\_\_\_$ 2000 （米）。

15．（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式 $\mathrm{a} \geq|\mathrm{x}+1|+|\mathrm{x}-2|$ 存在实数解，则实数 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$
［3，＋$\infty$ ）。
B．（几何证明选做题）如图，$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ACD}=90^{\circ}$ ，且 $\mathrm{AB}=6, \mathrm{AC}=4, \mathrm{AD}=12$ ，则 $\mathrm{AE}=$ $\_\_\_\_$ 2。

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别在曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\cos \theta \\ \mathrm{y}=4+\sin \theta\end{array}\right.$
（ $\theta$ 为参数）和曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{p}=1$ 上，则 $|\mathrm{AB}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 3 ．

16．（12分）（2011•陕西）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，$\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}, \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AD}$ 是高，沿 AD把 $\triangle \mathrm{ABD}$ 折起，使 $\angle \mathrm{BDC}=90^{\circ}$ 。


（ I ）证明：平面 $\mathrm{ADB} \perp$ 平面 BDC ；
（II）设 E 为 BC 的中点，求 $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ 夹角的余弦值。

17．（12分）（2011•陕西）如图，设 P 是圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$ 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D|=\frac{4}{5}|P D|$ ．
（I）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程
（II）求过点 $(3,0)$ 且斜率 $\frac{4}{5}$ 的直线被 C 所截线段的长度．

18．（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．

19．（12分）（2011•陕西）如图，从点 $\mathrm{P}_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 于点 $\mathrm{Q}_{1}(0,1$ ），曲线在 $\mathrm{Q}_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $\mathrm{P}_{2}$ ，再从 $\mathrm{P}_{2}$ 做 x 轴的垂线交曲线于点 $\mathrm{Q}_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{Q}_{1} ; \mathrm{P}_{2}, \mathrm{Q}_{2} \ldots ; \mathrm{P}_{\mathrm{n}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，记 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$ 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, 0\right)(\mathrm{k}=1,2$ ， …，n）。
（I）试求 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}$ 的关系（ $2 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$ ）；
（II）求 $\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$ 。

20．（13分）（2011•陕西）如图， A 地到火车站共有两条路径 $\mathrm{L}_{1}$ 和 $\mathrm{L}_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（II）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（I）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。

21．（14分）（2011•陕西）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 定义在 $(0,+\infty)$ 上， $\mathrm{f}(1)=0$ ，导函数 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) =\frac{1}{\mathrm{x}}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})$ ．
（I）求 g （ x ）的单调区间和最小值；
（II）讨论 $g(x)$ 与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$ 的大小关系；
（III）是否存在 $x_{0}>0$ ，使得 $\left|g(x)-g\left(x_{0}\right)\right|<\frac{1}{x}$ 对任意 $x>0$ 成立？若存在，求出 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在请说明理由．