2011 地方卷 · 理 数学

（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $\mathrm{x}=-2$ ，则抛物线的方程是

（5分）（2011•陕西）函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}}-\cos \mathrm{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 内（ ）

（5分）（2011•陕西）如图中， $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}$ 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，$P$ 为该题的最终得分．当 $x_{1}=6, x_{2}=9, p=8.5$ 时，$x_{3}$ 等于

（5分）（2011•陕西）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg x, x>0 \\ x+\int{ }_{0}^{a} 3 t^{2} d t, x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，若 $f(f(1))=1$ ，则 $a=$ 1 ．

（5分）（2011•陕西）设 $n \in N_{+}$，一元二次方程 $x^{2}-4 x+n=0$ 有整数根的充要条件是 $n=$ 3或4。

（5分）（2011•陕西）观察下列等式
$1=1$
$2+3+4=9$
$3+4+5+6+7=25$

$4+5+6+7+8+9+10=49$
．．．
照此规律，第 $n$ 个等式为 $n+(n+1)+(n+2)+\ldots+(3 n-2)=(2 n-1)^{2}$ 。

（5分）（2011•陕西）植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 $\_\_\_\_$ 2000 （米）。

（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式 $\mathrm{a} \geq|\mathrm{x}+1|+|\mathrm{x}-2|$ 存在实数解，则实数 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$
［3，＋$\infty$ ）。
B．（几何证明选做题）如图，$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{D}, \mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ACD}=90^{\circ}$ ，且 $\mathrm{AB}=6, \mathrm{AC}=4, \mathrm{AD}=12$ ，则 $\mathrm{AE}=$ $\_\_\_\_$ 2。

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别在曲线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3+\cos \theta \\ \mathrm{y}=4+\sin \theta\end{array}\right.$
（ $\theta$ 为参数）和曲线 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{p}=1$ 上，则 $|\mathrm{AB}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ 3 ．

（12分）（2011•陕西）如图，从点 $\mathrm{P}_{1}(0,0)$ 做 x 轴的垂线交曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 于点 $\mathrm{Q}_{1}(0,1$ ），曲线在 $\mathrm{Q}_{1}$ 点处的切线与 x 轴交于点 $\mathrm{P}_{2}$ ，再从 $\mathrm{P}_{2}$ 做 x 轴的垂线交曲线于点 $\mathrm{Q}_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{Q}_{1} ; \mathrm{P}_{2}, \mathrm{Q}_{2} \ldots ; \mathrm{P}_{\mathrm{n}}, \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}$ ，记 $\mathrm{P}_{\mathrm{k}}$ 点的坐标为 $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, 0\right)(\mathrm{k}=1,2$ ， …，n）。
（I）试求 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}$ 与 $\mathrm{x}_{\mathrm{k}-1}$ 的关系（ $2 \leq \mathrm{k} \leq \mathrm{n}$ ）；
（II）求 $\left|\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1}\right|+\left|\mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2}\right|+\left|\mathrm{P}_{3} \mathrm{Q}_{3}\right|+\ldots+\left|\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}\right|$ 。