2014 地方卷 · 文 数学

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $E B=2 A E, A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，则 $\frac{\triangle C D F \text { 的周长 }}{\triangle A E F \text { 的周长 }}=$ $\_\_\_\_$。

三．解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．