2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\{0,1,2\}$ ，则 $M \cup N=$

2．已知复数 Z 满足 $(3+4 i) z=25$ ，则 $\mathrm{Z}=$

3．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y \leq x \\ x+y \leq 1 \text { 且 } z=2 x+y \text { 的最大值和最小值分别为 } m \text { 和 } n \text { ，则 } m-n= \\ y \geq-1\end{array}\right.$

4．若实数 $k$ 满足 $0<k<9$ ，则曲线 $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9-k}=1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25-k}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的

5．已知向量 $a=(1,0,-1)$ ，则下列向量中与 $a$ 成 $60^{\circ}$ 夹角的是

6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 $2 \%$ 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是 

7．若空间中四条两两不同的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ ，满足 $l_{1} \perp l_{2}, l_{2} \perp l_{3}, l_{3} \perp l_{4}$ ，则下面结论一定正确的是

8．设集合 $A=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in\{-1,0,1\}, i=1,2,3,4,5\right\}$ ，那么集合 $A$ 中满足条件＂ $1 \leq\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|x_{4}\right|+\left|x_{5}\right| \leq 3$＂的元素个数为

9．不等式 $|x-1|+|x+2| \geq 5$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

10．曲线 $y=e^{-5 x}+2$ 在点 $(0,3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

11．从 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为 $\_\_\_\_$。

12．在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \cos C+c \cos B=2 b$ ，则 $\frac{a}{b}=$ $\_\_\_\_$

13．若等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{10} a_{11}+a_{9} a_{12}=2 e^{5}$ ，则 $\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots+\ln a_{20}=$ $\_\_\_\_$。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的方程分别为 $\rho \sin ^{2} \theta=\cos \theta$ 和 $\rho \sin \theta=1$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上且 $E B=2 A E, A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，则 $\frac{\triangle C D F \text { 的面积 }}{\triangle A E F \text { 的面积 }}=$ $\_\_\_\_$ 

16．（本小题满分 12 分）已知函数 $f(x)=A \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right), x \in R$ ，且 $f\left(\frac{5}{12} \pi\right)=\frac{3}{2}$ ， （1）求 $A$ 的值； （2）若 $f(\theta)+f(-\theta)=\frac{3}{2}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $f\left(\frac{3}{4} \pi-\theta\right)$ 。

17．（本小题满分 13 分）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： $30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36$ ，根据上述数据得到样本的频率分布表如下： | 分组 | 频数 | 频率 | | :--- | :---: | :---: | | $[25,30]$ | 3 | 0.12 | | $(30,35]$ | 5 | 0.20 | | $(35,40]$ | 8 | 0.32 | | $(40,45]$ | $n_{1}$ | $f_{1}$ | | $(45,50]$ | $n_{2}$ | $f_{2}$ | （1）确定样本频率分布表中 $n_{1}, n_{2}, f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（ 30,35 ］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形 $A B C D$ 为正方形，$P D \perp$ 平面 $A B C D, \angle D P C=30^{\circ}$ ， $A F \perp P C$ 于点 $F, F E / / C D$ ，交 $P D$ 于点 $E$ ． （1）证明：$C F \perp$ 平面 $A D F$ （2）求二面角 $D-A F-E$ 的余弦值。 

19．（本小题满分 14 分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n}=2 n a_{n+1}-3 n^{2}-4 n, n \in N^{*}$ ，且 $S_{3}=15$ ， （1）求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的值； （2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

20．（本小题满分 14 分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

21．（本小题满分 14 分）设函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}$ ，其中 $k<-2$ ， （1）求函数 $f(x)$ 的定义域D（用区间表示）； （2）讨论函数 $f(x)$ 在 D 上的单调性； （3）若 $k<-6$ ，求 D 上满足条件 $f(x)>f(1)$ 的 $x$ 的集合（用区间表示）。 ## 2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） ## 数学（理科）答案