2014 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

11．曲线 $y=5 e^{x}+3$ 在点 $(0,-2)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。

12．从字母 $a, b, c, d, e$ 中任取两个不同字母，则取字母 $a$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

13．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{5}=4$ ，则 $\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\log _{2} a_{3}+\log _{2} a_{4}+\log _{2} a_{5}=$ $\_\_\_\_$ ． ## （二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14，（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程分别为 $2 \rho \cos ^{2} \theta=\sin \theta$ 和 $\rho \cos \theta=1$ ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立直角坐标系，则曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$。

15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 上，且 $E B=2 A E, A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，则 $\frac{\triangle C D F \text { 的周长 }}{\triangle A E F \text { 的周长 }}=$ $\_\_\_\_$。 ## 三．解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 

16．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=A \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right), x \in R$ ，且 $f\left(\frac{5 \pi}{12}\right)=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 。 （1）求 $A$ 的值； （2）若 $f(\theta)+f(-\theta)=\sqrt{3}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，求 $f\left(\frac{\pi}{6}-\theta\right)$ 。

17．（本小题满分 13 分） 某车间 20 名工人年龄数据如下表： | 年龄（岁） | 工人数（人） | | :--- | :--- | | 19 | 1 | | 28 | 3 | | 29 | 3 | | 30 | 5 | | 31 | 4 | | 32 | 3 | | 40 | 1 | | 合计 | 20 | （1）求这 20 名工人年龄的众数与极差； （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； （3）求这 20 名工人年龄的方差。

18．（本小题满分 13 分） 如图2，四边形 ABCD 为矩形， $\mathrm{PD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=\mathrm{PC}=2$ ，作如图3折叠，折痕 $\mathrm{EF} \| \mathrm{DC}$ 。其中点 E ， F 分别在线段 $\mathrm{PD}, \mathrm{PC}$上，沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M ，并且 $\mathrm{MF} \perp \mathrm{CF}$ ． （1）证明： $\mathrm{CF} \perp$ 平面 MDF （2）求三棱锥M－CDE的体积． 

19．（本小题满分 14 分） 设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ． （1）求 $a_{1}$ 的值； （2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．

20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且椭圆 C 上的点到 $\mathrm{Q}(0,2)$ 的距离的最大值为 3 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为椭圆C外一点，且点 $P$ 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程。

21．（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+a x+1(a \in R)$ （1）求函数 $f(x)$ 的单调区间； （2）当 $a<0$ 时，试讨论是否存在 $x_{0} \in\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, 1\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$