2014 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．设 $i$ 是虚数单位，复数 $i^{3}+\frac{2 i}{1+i}=$
$-i$
B．$i$
C．-1
D． 1

3．抛物线 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ 的准线方程是

4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

5．设 $a=\log _{3} 7, b=2^{1.1}, c=0.8^{3.1}$ 则

6．过点 $P(-\sqrt{3}, 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是

7．若将函数 $f(x)=\sin 2 x+\cos 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi$ 个单位，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $\varphi$ 的最小正值是 （ ）

8．一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是

9．若函数 $f(x)=|x+1|+|2 x+a|$ 的最小值 3 ，则实数 $a$ 的值为（ ）

10．设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，$|\vec{b}|=2|\vec{a}|$ ，两组向量 $\overrightarrow{x_{1}}, \overrightarrow{x_{2}}, \overrightarrow{x_{3}}, \overrightarrow{x_{4}}$ 和 $\overrightarrow{y_{1}}, \overrightarrow{y_{2}}, \overrightarrow{y_{3}}, \overrightarrow{y_{4}}$ 均由 2 个 $\vec{a}$ 和 2 个 $\vec{b}$ 排列而成，若 $\overrightarrow{x_{1}} \cdot \overrightarrow{y_{1}}+\overrightarrow{x_{2}} \cdot \overrightarrow{y_{2}}+\overrightarrow{x_{3}} \cdot \overrightarrow{y_{3}}+\overrightarrow{x_{4}} \cdot \overrightarrow{y_{4}}$ 所有可能取值中的最小值为 $4|\vec{a}|^{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

11．$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}+\log _{3} \frac{5}{4}+\log _{3} \frac{4}{5}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中，斜边 $B C=2 \sqrt{2}$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的垂线，垂足为 $A_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作 $A C$的垂线，垂足为 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{1} C$ 的垂线，垂足为 $A_{3} ; \cdots$ ，以此类推，设 $B A=a_{1}, A A_{1}=a_{2}$ ， $A_{1} A_{2}=a_{3}, \cdots, A_{5} A_{6}=a_{7}$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．若直线 $l$ 与曲线 $C$ 满足下列两个条件：
（ $i$ ）直线 $l$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处与曲线 $C$ 相切；（ $i i$ ）曲线 $C$ 在 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧，则称直线 $l$ 在点 $P$ 处

＂切过＂曲线 $C$ ．
下列命题正确的是 $\_\_\_\_$ （写出所有正确命题的编号）
（1）直线 $l: y=0$ 在点 $P(0,0)$ 处＂切过＂曲线 $C: y=x^{3}$
（2）直线 $l: x=-1$ 在点 $P(-1,0)$ 处＂切过＂曲线 $C: \quad y=(x+1)^{2}$
（3）直线 $l: y=x$ 在点 $P(0,0)$ 处＂切过＂曲线 $C: y=\sin x$
（4）直线 $l: y=x$ 在点 $P(0,0)$ 处＂切过＂曲线 $C: y=\tan x$
（5）直线 $l: y=x-1$ 在点 $P(1,0)$ 处＂切过＂曲线 $C: y=\ln x$

16．（本小题满分 12 分）
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别是 $a, b, c$ ，且 $b=3, c=1, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $\cos A$ 与 $a$的值．

17、（本小题满分 12 分）
某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）
（I）应收集多少位女生样本数据？
（II）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：$[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]$．估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率。

（III）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时。请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95 \%$ 的把握认为＂该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关＂。附：
$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, n a_{n+1}=(n+1) a_{n}+n(n+1), n \in N^{+}$
证明：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是等差数列；
设 $b_{n}=3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$