2016 上海卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设 $x \in \mathbf{R}$ ，则不等式 $|x-3|<1$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

2．设 $z=\frac{3+2 \mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ ，其中 i 为虚数单位，则 $z$ 的虚部等于 $\_\_\_\_$ ．

3．已知平行直线 $l_{1}: 2 x+y-1=0, l_{2}: 2 x+y+1=0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $\_\_\_\_$ ．

4．某次体检， 5 位同学的身高（单位：米）分别为 $1.72,1.78,1.80,1.69,1.76$ ，则这组数据的中位数是 $\_\_\_\_$ （米）。

5．若函数 $f(x)=4 \sin x+a \cos x$ 的最大值为 5 ，则常数 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

6．已知点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^{x}$ 的图像上，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\_\_\_\_$。

【答：案】 $\log _{2}(x-1)$

7．若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ y \geq x+1,\end{array}\right.$ 则 $x-2 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

8．方程 $3 \sin x=1+\cos 2 x$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的解为 $\_\_\_\_$ ．

9．在 $\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 256 ，则常数项等于 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

10．已知 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $3,5,7$ ，则该三角形的外接圆半径等于 $\_\_\_\_$ ．

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为 $\_\_\_\_$。

12．如图，已知点 $O(0,0), A(1.0), B(0,-1), P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 上一个动点，则 $O P \times B A$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

13．设 $a>0, b>0$ ．若关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y=1 \\ x+b y=1\end{array}\right.$ ，无解，则 $a+b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

14．无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 由 $k$ 个不同的数组成，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若对任意 $n \hat{\imath} \mathbf{N}^{*}, S_{n} \hat{\imath}\{2,3\}$，则 $k$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

15．设 $a \in \mathbf{R}$ ，则＂$a>1$＂是＂$a^{2}>1$＂的（ ）．

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E , F$ 分别为 $B C , B B_{1}$ 的中点，则下列直线中与直线 $E F$相交的是（ ）。

17．设 $a \hat{\mathbf{l}} \mathbf{R}, b \hat{\mathbf{l}}[0,2 \pi]$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $\sin \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin (a x+b)$ ，则满足条件的有序实数对 $(a, b)$ 的对数为 $(\quad)$ ．

18．设 $f(x), g(x), h(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的三个函数．对于命题：①若 $f(x)+g(x)$、 $f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是增函数，则 $f(x), g(x), h(x)$ 均是增函数；②若 $f(x)+g(x), f(x)+h(x), g(x)+h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x), g(x)$、 $h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数，下列判断正确的是。

19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 6 分．
将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{5 \pi}{6}$ ， $\overparen{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O_{\text {的同侧．}}$
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线 $O_{1} B_{1}$ 与 $O C$ 所成的角的大小．

20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 个小题满分 6 分，第 2 个小题满分 8 分．

有一块正方形菜地 $E F G H, E H$ 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走 ．于是，菜地分为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近，$S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $E F$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$ ，如图．

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为 1 的点，请计算以 $E H$ 为一边、另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $E O M G H$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的＂经验值＂。

21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} , F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A , B$ 两点．
（1）若 7 的倾斜角为 $\frac{\pi}{2}, \triangle F_{1} A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
②设 $b=\sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $|A B|=4$ ，求 $l$ 的斜率．

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6分。

对于无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$，记 $A=\left\{x \mid x=a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$，若同时满足条件：①$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均单调递增；②$A \cap B=\varnothing$ 且 $A \cup B=\mathbf{N}^{*}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列．
（1）若 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=4 n-2$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若 $a_{n}=2^{n}$ 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 16 项的和；
（3）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．

已知 $a \in \mathrm{R}$ ，函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{1}{x}+a\right)$ ．
（1）当 $a=1$ 时，解不等式 $f(x)>1$ ；
（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)+\log _{2}\left(x^{2}\right)=0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值；
③设 $a>0$ ，若对任意 $t \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[t, t+1]$ 上的最大值与最小值的差不超过 1 ，求 $a$ 的取值范围．