2015 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）设 i 是虚数单位，则复数 $\frac{2 i}{1-i}$ 在复平面内所对应的点位于

（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是

（3）设 $p: 1<x<2, q: 2^{x}>1$ ，则 $p$ 是 $q$ 成立的

（4）下列双曲线中，焦点在 $y$ 轴上且渐近线方程为 $y= \pm 2 x$ 的是

（5）已知 $m, n$ 是两条不同直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

（6）若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的标准差为 8 ，则数据 $2 x_{1}-1,2 x_{2}-1, \cdots, 2 x_{10}-1$ 的标准差为

（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

（8）$\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2 \vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \vec{a}+\vec{b}$ ，则下列结论正确的是（ ）

（9）函数 $f(x)=\frac{a x+b}{(x+c)^{2}}$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

（10）已知函数 $f(x)=\mathrm{A} \sin (\omega x+\varphi)$（A，$\omega, \varphi$ 均为正的常数）的最小正周期为 $\pi$ ，当 $x=\frac{2 \pi}{3}$时，函数 $f(x)$ 取得最小值，则下列结论正确的是

（11）$\left(x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是—。。（用数字填写答案）

（12）在极坐标中，圆 $\rho=8 \sin \theta$ 上的点到直线 $\theta=\frac{\pi}{3}(\rho \in R)$ 距离的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 $n$ 为 $\_\_\_\_$ ．

（第 13 题图）

（14）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等比数列，$a_{1}+a_{4}=9, a_{2} a_{3}=8$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和等于 $\_\_\_\_$ ．

（15）设 $x^{3}+a x+b=0$ ，其中 $a, b$ 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 $\_\_\_\_$ ．（写出所有正确条件的编号）
①$a=-3, b=-3$ ；
②$a=-3, b=2$ ；
③$a=-3, b>2$ ；
④$a=0, b=2$ ；
⑤$a=1, b=2$ ．

（16）（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，$A=\frac{3 \pi}{4}, A B=6, A C=3 \sqrt{2}$ ，点 D 在 $B C$ 边上，$A D=B D$ ，求 $A D$ 的长．

（17）（本小题满分 12 分）
已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束．

（I）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（II）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）．

（18）（本小题满 分 12 分）
设 $n \in N^{*}, x_{n}$ 是曲线 $y=x^{2 n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 x 轴交点的横坐标．
（I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $T_{n}=x_{1}^{2} x_{3}^{2} \cdots x_{2 n-1}^{2}$，证明 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$．

（19）（本小题满分 13 分）
－如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$，四边形 $A A_{1} B_{1} B, A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形，$E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中

点，过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 F．
（I）证明：$E F / / B_{1} C$；
（II）求二面角 $E-A_{1} D-B_{1}$ 余弦值．

第19题图

（20）（本小题满分 13 分）
设椭圆 E 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 $(a, 0)$ ，点 B 的坐标为 $(0, b)$ ，点 M 在线段 AB 上，满足 $|B M|=2|M A|$ ，直线 OM 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ ．
（I）求 E 的离心率 e ；
（II）设点 C 的坐标为 $(0,-b), \mathrm{N}$ 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 $\frac{7}{2}$ ，求 E 的方程．

（21）（本小题满分 13 分）
设函数 $f(x)=x^{2}-a x+b$ ．
（I）讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

（II）记 $f_{0}(x)=x^{2}-a_{0} x+b_{0}$ ，求函数 $\left|f(\sin x)-f_{0}(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值 D；
（III）在（II）中，取 $a_{0}=b_{0}=0$ ，求 $z=b-\frac{a^{2}}{4}$ 满足 $\mathrm{D} \leq 1$ 时的最大值．