2015 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{1,3\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=$

2．＂ $\mathrm{x}=1$＂是＂ $\mathrm{x}^{2}-2 x+1=0$＂的

3．函数 $f(\mathrm{x})=\log _{2}\left(\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}-3\right)$ 的定义域是

4．重庆市2013年各月的平均气温（ ${ }^{\circ}$ C）数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

正视图

侧视图

俯视图

6．若 $\tan a=\frac{1}{3}, \tan (a+b)=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan b=$

7．已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}|=4|\vec{a}|$ ，且 $\vec{a} \perp(2 \vec{a}+\vec{b})$ 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

8．执行如图（8）所示的程序框图，则输出 s 的值为

9．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，过 F 做 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~A}_{2}$ 的垂线与双曲线交于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点，若 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B} \perp \mathrm{~A}_{2} C$ ，则双曲线的渐近线的斜率为

10．若不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \leq 0 \\ x+2 y-2 \geq 0 \\ x-y+2 m \geq 0\end{array}\right.$ ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 $\frac{4}{3}$ ，则 m 的值为

11．复数 $(1+2 i) i$ 的实部为

12．若点 $P(1,2)$ 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

13．设 $\triangle A B C$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a=2, \cos C=-\frac{1}{4}, 3 \sin A=2 \sin B$ ，则 $\mathrm{c}=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设 $a, b>0, a+b=5$ ，则 $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

15．在区间 $[0,5]$ 上随机地选择一个数 p ，则方程 $x^{2}+2 p x+3 p-2=0$ 有两个负根的概率为 $\_\_\_\_$ ．

16、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=2$ ，前 3 项和 $S_{3}=\frac{9}{2}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{15}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．

17、（本小题满分 13 分，（I）小问 10 分，（II）小问3分）
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

（I）求 y 关于 t 的回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$
（II）用所求回归方程预测该地区 2015 年 $(t=6)$ 的人民币储蓄存款。
附：回归方程 $\hat{y}=\hat{b} t+\hat{a}$ 中

$ \left\{\begin{array}{c} b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \\ a=\bar{y}-b \bar{x} . \end{array}\right. $

18、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \sin 2 \mathrm{x}-\sqrt{3} \cos ^{2} x$ ．
（I）求 $f(x)$ 的最小周期和最小值；
（II）将函数 $f(x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g(x)$ 的图像．当 $\mathrm{x} \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 时，求 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的值域．

19、（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2} \quad(a \in R)$ 在 $\mathrm{x}=-\frac{4}{3}$ 处取得极值．
（I）确定 $a$ 的值；
（II）若 $g(x)=f(x) e^{x}$ ，讨论的单调性．

20、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）

如题（20）图，三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中，平面 $\mathrm{PAC} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, ~ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$ ，点 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 在线段 AC 上，且 $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{PD}=\mathrm{PC}=4$ ，点 F 在线段 AB 上，且 $\mathrm{EF} / / \mathrm{BC}$ ．
（ I ）证明： $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PFE ．
（II）若四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{DFBC}$ 的体积为 7 ，求线段 BC 的长．

21、（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
如题（21）图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，且 $\mathrm{PQ} \perp P F_{1}$ ．
（I）若 $\left|P F_{1}\right|=2+\sqrt{2},\left|P F_{2}\right|=2-\sqrt{2}$ ，求椭圆的标准方程．
（II）若 $|\mathrm{PQ}|=\lambda\left|P F_{1}\right|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq \lambda \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围．