2009 江苏卷 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．若复数 $z_{1}=4+29 i, z_{2}=6+9 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $\left(z_{1}-z_{2}\right) i$ 的实部为 $\_\_\_\_$

2．已知向量 $\boldsymbol{a}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $30^{\circ},|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$ ，则向量 $\boldsymbol{a}$ 和向量 $\boldsymbol{b}$ 的数量积 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=$ $\_\_\_\_$

3．函数 $f(x)=x^{3}-15 x^{2}-33 x+6$ 的单调减区间为 $\_\_\_\_$

4．函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A, \omega, \varphi$ 为常数， $A>0, \omega>0)$在闭区间 $[-\pi, 0]$ 上的图象如图所示，则 $\omega=$ $\_\_\_\_$。

5．现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 $2.5,2.6,2$ ．  $7,2.8,2.9$ ，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为 $\_\_\_\_$。

6．某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 $1,2,3,4,5$ 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，投中的次数如下表： | 学生 | 1 号 | 2 号 | 3 号 | 4 号 | 5 号 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 甲班 | 6 | 7 | 7 | 8 | 7 | | 乙班 | 6 | 7 | 6 | 7 | 9 | 则以上两组数据的方差中较小的一个为 $S^{2}=$ $\_\_\_\_$。

7．右图是一个算法的流程图，最后输出的 $W=$ $\_\_\_\_$。

8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 $1: 2$ ，则它们的面积比为 $1: 4$ ，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为 $1: 2$ ，则它们的体积比为 $\_\_\_\_$。 且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ，则点 P 的坐标为 $\_\_\_\_$。

10．已知 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ，函数 $f(x)=a^{x}$ ，若实数 $m, n$ 满足 $f(m)>f(n)$ ，则 $m, n$ 的大小关系为 $\_\_\_\_$

11．已知集合 $A=\left\{x \mid \log _{2} x \leq 2\right\}, B=(-\infty, a)$ ，若 $A \subseteq B$ 则  实数 $a$ 的取值范围是 $(c,+\infty)$ ，其中 $c=$ $\_\_\_\_$。

12．设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为不重合的两个平面，给出下列命题：①若 $\alpha$ 内的两条相交直线分别平行于 $\beta$ 内的两条直线，则 $\alpha$ 平行于 $\beta$ ；②若 $\alpha$ 外一条直线 $l$ 与 $\alpha$ 内的一条直线平行，则 $l$ 和 $\alpha$ 平行；③设 $\alpha$ 和 $\beta_{\text {相交于直线 }} l$ ，若 $\alpha$ 内有一条直线垂直于 $l$ ，则 $\alpha$ 和 $\beta_{\text {垂直；④直线 }} l$ 与 $\alpha$ 垂直的充分必要条件是 $l$ 与 $\alpha$ 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）。

13．如图，在平面直角坐标系 $x O y_{\text {中，}} A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的四个顶点，$F$ 为其右焦点，直线 $A_{1} B_{2}$ 与直线 $B_{1} F$ 相交于点 T ，线段 $O T$ 与椭圆的交点 $M$ 恰为线段 $O T$ 的中点，则该椭圆的离心率为 $\_\_\_\_$ ．

14．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，$|q|>1$ ，令  $b_{n}=a_{n}+1(n=1,2, \cdots)_{\text {若数列 }}\left\{b_{n}\right\}$ 有连续四项在集合 $\{-53,-23,19,37,82\}$ 中，则 $6 q=$

15．（本小题满分 14 分）。 设向量 $\boldsymbol{a}=(4 \cos \alpha, \sin \alpha), \boldsymbol{b}=(\sin \beta, 4 \cos \beta), \boldsymbol{c}=(\cos \beta,-4 \sin \beta)$（1）若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}$ 垂直，求 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值；（2）求 $|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|_{\text {的最大值；（3）若 }} \tan \alpha \tan \beta=16$ ，求证： $\boldsymbol{a}_{\|} \boldsymbol{b}$ ．

16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1 \text { 中 }}, E, F$ 分别是 $A_{1} B, A_{1} C_{\text {的中 }}$点，点 $D$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上，$A_{1} D \perp B_{1} C$求证：（1）$E F$｜｜平面 $A B C$（2）平面 $A_{1} F D \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ 

17．（本小题满分14分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差不为零的等差数列，$S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 $a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=a_{4}^{2}+a_{5}^{2}, S_{7}=7$（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；②试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m+1}}{a_{m+2}}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的项．

18．（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 $x O y_{\text {中，已知圆 }} C_{1}:(x+3)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 和圆 $C_{2}:(x-4)^{2}+(y-5)^{2}=4$（1）若直线 $l$ 过点 $A(4,0)$ ，且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；②设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1 \text { 和圆 }} \mathrm{C}_{2 \text { 相交，且直线 }} l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $\mathrm{C}_{2}$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 P 的坐标。 

19．（本小题满分 16 分） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$ 元，如果他卖出该产品的单价为 $m$ 元，则他的满意度为 $\frac{m}{m+a}$ ；如果他买进该产品的单价为 $n$ 元，则他的满意度为 $\frac{n}{n+a}$ 。如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ ，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_{1} h_{2}}$ ． 现假设甲生产 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20元，设产品 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 的单价分别为 $m_{A}$ 元和 $m_{B}$ 元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 $h_{\text {甲，} \text { 乙卖出 } \mathrm{A} \text { 与买进 }}$ B的综合满意度为 $h_{\text {乙 }}$ 求 $h_{\text {甲和 }} h_{\text {乙关于 }} m_{A} , m_{B \text { 的表达式；当 }} m_{A}=\frac{3}{5} m_{B}$ 时，求证：$h_{\text {甲 }} h_{\text {乙；}}$ 设 $m_{A}=\frac{3}{5} m_{B}$ ，当 $m_{A} , m_{B}$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ 记（2）中最大的综合满意度为 $h_{0}$ ，试问能否适当选取 $m_{A} , m_{B \text { 的值，使得 }} h_{\text {甲 }} \geq h_{0}$ 和 $h_{乙} \geq h_{0 \text { 同时成立 }}$ ，但等号不同时成立？试说明理由。 求 $h_{\text {甲和 }} h_{\text {乙关于 }} m_{A} , m_{B \text { 的表达式；当 }} m_{A}=\frac{3}{5} m_{B}$ 时，求证：$h_{\text {甲 }} h_{\text {乙；}}$ 设 $m_{A}=\frac{3}{5} m_{B}$ ，当 $m_{A} , m_{B}$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ 记（2）中最大的综合满意度为 $h_{0}$ ，试问能否适当选取 $m_{A} , m_{B \text { 的值，使得 }} h_{甲} \geq h_{0}$ 和 $h_{乙} \geq h_{0 \text { 同时成立 }}$ ，但等号不同时成立？试说明理由。

20．（本小题满分 16 分）设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=2 x^{2}+(x-a)|x-a|_{\text {。若 }} f(0) \geq 1$ ，求 $a$ 的取值范围；求 $f(x)$ 的最小值；设函数 $h(x)=f(x), x \in(a,+\infty)$ ，直接写出（不需给出演算步骤）不等式 $h(x) \geq 1$ 的解集． ## 数学II（附加题） 参考公式： $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ ．

21．［选做题］在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分。请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A．选修4－1：几何证明选讲 如图，在四边形 ABCD 中，$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{BAD}$ ． 求证： $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$ ．

22．（本题满分 10 分） 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 $\mathrm{A}(2,2)$ ，其焦在 $x$ 轴上。 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F ，且与直线 OA 垂直的直线的方程； ③设过点 $M(m, 0)(m>0)$ 的直线交抛物线 C 于 $\mathrm{D} , \mathrm{E}$ 两点， $\mathrm{ME}=2 \mathrm{DM}$ ，记D两点间的距离为 $f(m)$ ，求 $f(m)$ 关于 $m$ 的表达式。

23．（本题满分 10 分） 对于正整数 $n \geq 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in\{1,2, \cdots, n\}$（ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+b=0$ 有实数根的概率。 （1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ； （2）求证：对任意正整数 $n \geq 2$ ，有 $P_{n}>1-\frac{1}{\sqrt{n}}$ ．