2009 地方卷 · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．若复数 $z=\left(x^{2}-1\right)+(x-1) i$ 为纯虚数，则实数 $x$ 的值为

2．函数 $y=\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}$ 的定义域为

3．已知全集 $U=A \bigcup B$ 中有 $m$ 个元素，$\left(\varnothing_{U} A\right) \bigcup\left(\bigoplus_{U} B\right)$ 中有 $n$ 个元素．若 $A \cup B$ 非空，则 $A \mid B$ 的元素个数为

4．若函数 $f(x)=(1+\sqrt{3} \tan x) \cos x, 0 \leq x<\frac{\pi}{2}$ ，则 $f(x)$ 的最大值为

5．设函数 $f(x)=g(x)+x^{2}$ ，曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1, g(1))$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线的斜率为

6．过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P, F_{2}$ 为右焦点，若 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$ ，则椭圆的离心率为

7．$(1+a x+b y)^{n}$ 展开式中不含 $x$ 的项的系数绝对值的和为 243 ，不含 $y$ 的项的系数绝对值的和为 32 ，则 $a, b, n$ 的值可能为

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30}$ 为

9．如图，正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A, B, C$ 分别在两两垂直的三条射线 $O x$ ， $O y, O z$ 上，则在下列命题中，错误的为

10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种食品 5 袋，能获奖的概率为

11．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的＂直径＂，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的＂周率＂，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}, \tau_{4}$ ，则下列关系中正确的为 

12．设函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x+c}(a<0)$ 的定义域为 $D$ ，若所有点 $(s, f(t))(s, t \in D)$ 构成一个正方形区域，则 $a$ 的值为

13．已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,3), \vec{c}=(k, 7)$ ，若 $(\vec{a}-\vec{c}) / / \vec{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

14．正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内接于半径为 2 的球，若 $A, B$ 两点的球面距离为 $\pi$ ，则正三棱柱的体积为 $\_\_\_\_$ ． 15 ．若不等式 $\sqrt{9-x^{2}} \leq k(x+2)-\sqrt{2}$ 的解集为区间 $[a, b]$ ，且 $b-a=2$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

16．设直线系 $M: x \cos \theta+(y-2) \sin \theta=1(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，对于下列四个命题： A．$M$ 中所有直线均经过一个定点 B．存在定点 $P$ 不在 $M$ 中的任一条直线上 $C$ ．对于任意整数 $n(n \geq 3)$ ，存在正 $n$ 边形，其所有边均在 $M$ 中的直线上 $D$ ．$M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的代号）。 三．

17．（本小题满分 12 分） 设函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}$ （1）求函数 $f(x)$ 的单调区间； （2）若 $k>0$ ，求不等式 $f^{\prime}(x)+k(1-x) f(x)>0$ 的解集．

18．（本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助，令 $\xi$ 表示该公司的资助总额． （1）写出 $\xi$ 的分布列； （2）求数学期望 $E \xi$ ．

19．（本小题满分 12 分） $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \tan C=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}, \sin (B-A)=\cos C$ ． （1）求 $A, C$ ； （2）若 $S_{\triangle A B C}=3+\sqrt{3}$ ，求 $a, c$ ．

20．（本小题满分 12 分） 在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，$P A \perp$ 平面 $A B C D$ ， $P A=A D=4, A B=2$ ．以 $A C$ 的中点 $O$ 为球心、 $A C$ 为直径的球面交 $P D$ 于点 $M$ ，交 $P C$ 于点 $N$ （1）求证：平面 $A B M \perp$ 平面 $P C D$ ； （2）求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成的角的大小；  （3）求点 $N$ 到平面 $A C M$ 的距离

21．（本小题满分 12 分） 已知点 $P_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（ $b$ 为正常数）上任一点， $F_{2}$ 为双曲线的右焦点，过 $P_{1}$ 作右准线的垂线，垂足为 $A$ ，连接 $F_{2} A$并延长交 $y$ 轴于 $P_{2}$ ． （1）求线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；  ②设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B , D$ 两点，在 $E$ 上任取一点 $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(y_{1} \neq 0\right)$ ，直线 $Q B, Q D$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆过两定点．

22．（本小题满分 14 分） 各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=a, a_{2}=b$ ，且对满足 $m+n=p+q$ 的正整数 $m, n, p, q$ 都有 $\frac{a_{m}+a_{n}}{\left(1+a_{m}\right)\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{p}+a_{q}}{\left(1+a_{p}\right)\left(1+a_{q}\right)}$. （1）当 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$ ； （2）证明：对任意 $a$ ，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$ ，使得对于每个正整数 $n$ ，都有 $\frac{1}{\lambda} \leq a_{n} \leq \lambda$.