2009 地方卷 · 理 数学

若复数 $z=\left(x^{2}-1\right)+(x-1) i$ 为纯虚数，则实数 $x$ 的值为

函数 $y=\frac{\ln (x+1)}{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}$ 的定义域为

若函数 $f(x)=(1+\sqrt{3} \tan x) \cos x, 0 \leq x<\frac{\pi}{2}$ ，则 $f(x)$ 的最大值为

设函数 $f(x)=g(x)+x^{2}$ ，曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1, g(1))$ 处的切线方程为 $y=2 x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处切线的斜率为

4．若函数 ( ) ($1 3 tan ) cosf x x x= +$，02xp£ <，则 ( )f x的最大值为

$(1+a x+b y)^{n}$ 展开式中不含 $x$ 的项的系数绝对值的和为 243 ，不含 $y$ 的项的系数绝对值的和为 32 ，则 $a, b, n$ 的值可能为

数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{30}$ 为

如图，正四面体 $A B C D$ 的顶点 $A, B, C$ 分别在两两垂直的三条射线 $O x$ ， $O y, O z$ 上，则在下列命题中，错误的为

为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种卡片可获奖，现购买该种食品 5 袋，能获奖的概率为

一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的＂直径＂，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的＂周率＂，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为 $\tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}, \tau_{4}$ ，则下列关系中正确的为

设函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x+c}(a<0)$ 的定义域为 $D$ ，若所有点 $(s, f(t))(s, t \in D)$ 构成一个正方形区域，则 $a$ 的值为

已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,3), \vec{c}=(k, 7)$ ，若 $(\vec{a}-\vec{c}) / / \vec{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．

正三棱柱 1 1 1ABC A B C-内接于半径为2的球，若 ,A B两点的球面距离为p，则正三棱
柱的体积为 　　．

16．设直线系 $M: x \cos \theta+(y-2) \sin \theta=1(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，对于下列四个命题：
A．$M$ 中所有直线均经过一个定点

B．存在定点 $P$ 不在 $M$ 中的任一条直线上
$C$ ．对于任意整数 $n(n \geq 3)$ ，存在正 $n$ 边形，其所有边均在 $M$ 中的直线上
$D$ ．$M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的代号）。

三．

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $k>0$ ，求不等式 $f^{\prime}(x)+k(1-x) f(x)>0$ 的解集．

18．（本小题满分 12 分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审。假设评审结果为＂支持＂或＂不支持＂的概率都是 $\frac{1}{2}$ 。若某人获得两个＂支持＂，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个＂支持＂，则给予 5 万元的资助；若未获得＂支持＂，则不予资助，令 $\xi$ 表示该公司的资助总额．
（1）写出 $\xi$ 的分布列；
（2）求数学期望 $E \xi$ ．

19．（本小题满分 12 分）
$\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \tan C=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}, \sin (B-A)=\cos C$ ．
（1）求 $A, C$ ；
（2）若 $S_{\triangle A B C}=3+\sqrt{3}$ ，求 $a, c$ ．

21．（本小题满分 12 分）
已知点 $P_{1}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{8 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（ $b$ 为正常数）上任一点， $F_{2}$ 为双曲线的右焦点，过 $P_{1}$ 作右准线的垂线，垂足为 $A$ ，连接 $F_{2} A$并延长交 $y$ 轴于 $P_{2}$ ．
（1）求线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点 $P$ 的轨迹 $E$ 的方程；

（2）设轨迹 $E$ 与 $x$ 轴交于 $B , D$ 两点，在 $E$ 上任取一点 $Q\left(x_{1}, y_{1}\right)\left(y_{1} \neq 0\right)$ ，直线 $Q B, Q D$ 分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆过两定点．