2009 quanguo_old_i · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）设集合 $A=\{4,5,7,9\}, B=\{3,4,7,8,9\}$ ，全集 $U=A \cup B$ ，则集合 $C_{U}(A \cap B)$ 中的元素共有

2．（5分）已知 $\frac{\bar{Z}}{1+i}=2+i$ ，则复数 $z=$

3．（5分）不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为

4．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）

6．（5分）设 $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则 $(\vec{a}-\vec{c}) \bullet(\vec{b}-\vec{c})$ 的最小值为

7．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角的余弦值为（） 

8．（5分）如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称，那么 $|\phi|$ 的最小值为（ ）

9．（5分）已知直线 $y=x+1$ 与曲线 $y=\ln (x+a)$ 相切，则 $a$ 的值为（ ）

10．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}$ ，动点 $P , Q$ 分别在面 $\alpha , \beta$ 内，$P$ 到 $\beta$ 的距离 为 $\sqrt{3}$ ， Q 到 $\alpha$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 P 、 Q 两点之间距离的最小值为 

11．（5分）函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f(x+1)$ 与 $f(x-1)$ 都是奇函数，则

12．（5分）已知椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，右准线为 $I$ ，点 $A \in I$ ，线段 $A F$ 交 $C$于点 $B$ ，若 $\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$ ，则 $|\overrightarrow{A F}|=$（ ）

13．（5分）$(x-y)^{10}$ 的展开式中，$x^{7} y^{3}$ 的系数与 $x^{3} y^{7}$ 的系数之和等于 $\_\_\_\_$ － 240

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=81$ ，则 $a_{2}+a_{5}+a_{8}=$ $\_\_\_\_$ 27 ．

15．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各顶点都在同一球面上，若 $A B=A C=A A_{1}=2$ ， $\angle B A C=120^{\circ}$ ，则此球的表面积等于 $\_\_\_\_$ $20 \pi$ ．

16．（5分）若 $\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$ ，则函数 $y=\tan 2 x \tan ^{3} x$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ －8。

17．（10分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A , B , C$ 的对边长分别为 $a , b , c$ ，已知 $a^{2}-c^{2}=2$ b，且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，求b．

18．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，$S D \perp$ 底面 $A B C D, A D =\sqrt{2}, D C=S D=2$ ，点 $M$ 在侧棱 $S C$ 上，$\angle A B M=60^{\circ}$ （I）证明：$M$ 是侧棱 $S C$ 的中点； （II）求二面角 $S-A M-B$ 的大小。 

19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望

20．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$ ． ①设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

21．（12分）如图，已知抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ 与圆 $\mathrm{M}:(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相交于 $A , B , C , D$ 四个点． （I）求 $r$ 的取值范围； （II）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 $\mathrm{AC} , \mathrm{BD}$ 的交点 P 的坐标． 

22．（12分）设函数 $f(x)=x^{3}+3 b x^{2}+3 c x$ 有两个极值点 $x_{1} , x_{2}$ ，且 $x_{1} \in[-1,0], x$ $ { }_{2} \in[1,2] . $ （1）求 $b$ 、 $c$ 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 $(b, c)$ 的区域； （2）证明：$-10 \leqslant f\left(x_{2}\right) \leqslant-\frac{1}{2}$ ．