2009 quanguo_old_ii · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）已知全集 $\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \mathrm{M}=\{1,3,5,7\}, \mathrm{N}=\{5 , 6,7\}$ ，则 $\mathrm{C}_{\mathrm{U}}(\mathrm{MUN})=$

2．（5分）函数 $y=\sqrt{-x}(x \leq 0)$ 的反函数是

3．（5分）函数 $y=\log _{2} \frac{2-x}{2+x}$ 的图象（ ）

4．（5分）已知 $\triangle A B C$ 中， $\cot A=-\frac{12}{5}$ ，则 $\cos A=$（ ）

5．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

6．（5分）已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{a} \cdot \vec{b}=10,|\vec{a}+\vec{b}|=5 \sqrt{2}$ ，则 $|\vec{b}|=$（ ）

7．（5分）设 $a=\lg e, b=(\lg e)^{2}, c=\lg \sqrt{e}$ ，则（ ）

8．（5分）双曲线 $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$

9．（5分）若将函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right) \quad(\omega>0)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，与函数 $y=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象重合，则 $\omega$ 的最小值为（ ）

10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有

11．（5分）已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 相交于 $A , B$ 两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $|F A|=2|F B|$ ，则 $k=$（ ）

12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标＂$\triangle$＂的面的方位（） 

13．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1}=1, S_{6}=4 S_{3}$ ，则 $a_{4}=$ $\_\_\_\_$ 3 ．

14．（5分）（ $x \sqrt{y}-y \sqrt{x}$ ） 4 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 6 ．

15．（5分）已知圆 $O: x^{2}+y^{2}=5$ 和点 $A(1,2)$ ，则过 $A$ 且与圆 $O$ 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积 $=$ $\_\_\_\_$ $\frac{25}{4}$ ．

16．（5分）设 OA 是球 O 的半径， M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 $45^{\circ}$ 角的平面截球 $O$ 的表面得到圆 $C$ ．若圆 $C$ 的面积等于 $\frac{7 \pi}{4}$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $8 \pi$。

17．（10分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{3} a_{7}=-16, a_{4}+a_{6}=0$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $s_{n}$ ．

18．（12分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边长分别为 $a , b , c, \cos (A-C)+\operatorname{co} \mathrm{sB}=\frac{3}{2}, \mathrm{~b}^{2}=\mathrm{ac}$ ，求 B ．

19．（12分）如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B \perp A C, D , E$ 分别为 $A A_{1} , B_{1} C$ 的中点， $\mathrm{DE} \perp$ 平面 $\mathrm{BCC}_{1}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ ； （II）设二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}$ ，求 $\mathrm{B}_{1} \mathrm{C}$ 与平面 BCD 所成的角的大小。 

20．（12分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （1）求从甲、乙两组各抽取的人数； （2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （3）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率．

21．（12分）设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ， （I）讨论f（x）的单调性； （II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

22．（12分）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 C 相交于 A 、 B 两点，当 I 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 I 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， （I）求 a ， b 的值； （II） C 上是否存在点 P ，使得当绕 F 转到某一位置时，有 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 成立？若存在，求出所有的 P 的坐标与 $l$ 的方程；若不存在，说明理由．