2012 地方卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．设集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}$ ，则 $M$ Ç $N=$

2．复数 $z=i(i+1)$（ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是

3．命题＂若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$ ，则 $\tan \alpha=1$＂的逆否命题是

4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是  A  B  C  D  圈1

5．设某大学的女生体重 $y$（单位：$k g$ ）与身高 $x$（单位：$c m$ ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85 x-85.71$ ，则下列结论不正确的是

6．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的焦距为 10 ，点 $P(2,1)$ 在的渐近线上，则 $C$ 的方程为（

7．设 $a>b>1, c<0$ ，给出下列三个结论： ①$\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$ ；②$a^{c}<b f$ ；③ $\log _{b}(a-c)>\log _{a}(b-c)$ ． 其中所有的正确结论的序号是（ ）

8．在 $\mathrm{D} A B C$ 中，$A C=\sqrt{7}, B C=2, B=60^{\circ}$ ，则 $B C$ 边上的高等于（ ）

9．设定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 2 p 的偶函数，$f(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，当 $x \in[0, \pi]$ 时， $0<f(x)<1$ ；当 $x \in(0, \pi)$ 且 $x \neq \frac{\pi}{2}$ 时，$\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f^{\prime}(x)>0$ ．则函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $[-2 \pi, 2 \pi]$ 上的零点个数为（ ）

10．在极坐标系中，曲线 $C_{1}: \rho(\sqrt{2} \cos \theta+\sin \theta)=1$ 与曲线 $C_{2}: \rho=a(a>0)$ 的一个交点在极轴上，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 $29^{\circ} \mathrm{C}$ ： $63^{\circ} \mathrm{C}$ ，精确度要求 $\pm 1^{\circ} \mathrm{C}$ ．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为 $\_\_\_\_$ ．

12．不等式 $x^{2}-5 x+6 £ 0$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

13．图 2 是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 $\_\_\_\_$。 （注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\mathrm{L}+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ， 其中 $\bar{X}$ 为 $X_{1}, X_{2}, \mathrm{~L}, X_{n}$ 的平均数）  图2

14．如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 $x=4.5$ ，则输出的数 $i=$ $\_\_\_\_$ ．  園3

15．如图 4，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A P^{\wedge} B D$ ，垂足为 $P$ ，且 $A P=3$ ，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $\_\_\_\_$ ．  图4

16．对于 $n \hat{i} \mathrm{~N}^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{k}^{\prime} 2^{k}+a_{k-1}^{\prime} 2^{k-1}+\mathrm{L}+a_{1}^{\prime} 2^{1}+a_{0}^{\prime} 2^{0}$ ，当 $i=k$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $0 £ i £ k-1$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．定义 $b_{n}$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_{0}, a_{1}, a_{2} \mathrm{~L}, a_{k}$ 中等于 1 的个数为奇数时，$b_{n}=1$ ；否则 $b_{n}=0$ ． ①$b_{2}+b_{4}+b_{6}+b_{8}=$ $\_\_\_\_$ ； （2）记 $c_{m}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中第 $m$ 个为 0 的项与第 $m+1$ 个为 0 的项之间的项数，则 $c_{m}$ 的最大值是 $\_\_\_\_$。

17．（本小题满分 12 分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示： | 一次购物量 | 1 至 4 件 | 5 至 8 件 | 9 至 12 件 | 13 至 16 件 | 17 件以上 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 顾客数（人） | $\boldsymbol{x}$ | 30 | 25 | $\boldsymbol{y}$ | 10 | | 结算时间（分钟／人） | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 $55 \%$ 。 （1）确定 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．（将频率视为概率）

18．已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(x \in R, \omega>0,0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的部分图象如图5所示， （1）求函数 $f(x)$ 的解析式； （2）求函数 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的单调递增区间．  B 5

19．（本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A^{\wedge}$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C, A C^{\wedge} B D$ ．  图6 （1）证明：$B D^{\wedge} P C$ ； （2）若 $A D=4, B C=2$ ，直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，求四棱锥 $P-A B C D$的体积。

20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产。该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 $50 \%$ 。预计以后每年资金年增长率与第一年的相同。公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 $\boldsymbol{d}$ 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产。设第 $n$ 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元。 （1）用 $\boldsymbol{d}$ 表示 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}$ ，并写出 $\boldsymbol{a}_{n+1}$ 与 $\boldsymbol{a}_{n}$ 的关系式； （2）若公司希望经过 $m\left(m^{3} 3\right)$ 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上交资金 $\boldsymbol{d}$ 的值（用 $\boldsymbol{m}$ 表示）。

21．（本小题满分 13 分）在直角坐标系 $x O y$ 中，已知中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E$ 的一个焦点为圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x+2=0$ 的圆心． （1）求椭圆 $\boldsymbol{E}$ 的方程； ②设 $P$ 是椭圆 $E$ 上一点，过 $P$ 作两条斜率之积为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $I_{1}, I_{2}$ 。当直线 $I_{1}, I_{2}$ 都与圆 $C$ 相切时，求 $P$ 的坐标．

22．（本小题满分 13 分） 已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ ，其中 $a>0$ ． （I）若对一切 $x \in R, f(x) \geq 1$ 恒成立，求 $\boldsymbol{a}$ 的取值集合； （II）在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ ，证明：存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=k$ 成立．