2015 北京卷 · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5 分）若集合 $A=\{x \mid-5<x<2\}, B=\{x \mid-3<x<3\}$ ，则 $A \cap B=$

2．（5 分）圆心为（ 1,1 ）且过原点的圆的标准方程是

3．（5 分）下列函数中为偶函数的是

4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为 | 类别 | 人数 | | :--- | :--- | | 老年教师 | 900 | | 中年教师 | 1800 | | 青年教师 | 1600 | | 合计 | 4300 |

5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ） 

6．（5分）设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量，＂$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$＂是＂$\vec{a} / / \vec{b}$＂的（）

7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）  正（主）视图  侧（左）视图  俯视图

8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 | 加油时间 | 加油量（升） | 加油时的累计里程（千米） | | :--- | :--- | :--- | | 2015年5月1日 | 12 | 35000 | | 2015年5月15日 | 48 | 35600 | 注：＂累计里程＂指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为（ ）

9．（5 分）复数 $i(1+i)$ 的实部为 $\_\_\_\_$ －1 ．

10．（5 分） $2^{-3}, 3^{\frac{1}{2}}, \log _{2} 5$ 三个数中最大数的是 $\_\_\_\_$ $\log _{2} 5$。

11．（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=3, b=\sqrt{6}, \angle A=\frac{2 \pi}{3}$ ，则 $\angle B=$ $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{4}$ ．

12．（5 分）已知 $(2,0)$ 是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一个焦点，则 $b=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{3}$ ．

13．（5 分）如图，$\triangle A B C$ 及其内部的点组成的集合记为 D，P（ $x, y$ ）为 D 中任意一点，则 $z=2 x+3 y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 7。 

14．（5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看， （1）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 $\_\_\_\_$乙 ； （2）在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 $\_\_\_\_$数学。  

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\sin x-2 \sqrt{3} \sin ^{2} \frac{x}{2}$ ． （1）求 $f(x)$ 的最小正周期； （2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上的最小值．

16．（13 分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=10, a_{4}-a_{3}=2$ （1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； ②设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{2}=a_{3}, b_{3}=a_{7}$ ，问：$b_{6}$ 与数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的第几项相等？

17．（13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中＂ V ＂表示购买，＂$\times$＂表示未购买． | | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 100 | v | × | v | v | | 217 | × | v | × | v | | 200 | v | v | v | × | | 300 | v | × | v | × | | 85 | v | × | × | × | | 98 | $\times$ | $v$ | $\times$ | $\times$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

18．（14分）如图，在三棱锥 $V-A B C$ 中，平面 $V A B \perp$ 平面 $A B C, \triangle V A B$ 为等边三角形，$A C \perp B C$ 且 $A C=B C=\sqrt{2}, O, M$ 分别为 $A B, V A$ 的中点。 （1）求证：$V B / /$ 平面 $M O C$ ； （2）求证：平面 $M O C \perp$ 平面 $V A B$ （3）求三棱锥 V－ABC的体积． 

19．（13 分）设函数 $f(x)=\frac{x^{2}}{2}-k \ln x, k>0$ ． （1）求 $f(x)$ 的单调区间和极值； （2）证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{e}]$ 上仅有一个零点．

20．（14 分）已知椭圆 $C: x^{2}+3 y^{2}=3$ ，过点 $D(1,0)$ 且不过点 $E(2,1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $A E$ 与直线 $x=3$ 交于点 $M$ ． （1）求椭圆 C 的离心率； （2）若 $A B$ 垂直于 $x$ 轴，求直线 $B M$ 的斜率； （3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。