2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．设全集为 R，函数 $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ 的定义域为 M，则 $C_{\mathrm{R}} M$ 为

2．根据下列算法语句，当输入 x 为 60 时，输出 y 的值为

3．设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为向量，则＂$|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}|$＂是＂ $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$＂的

4．某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法，抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 $1,2, \ldots, 840$ 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间［481，720］的人数为

5．如图，在矩形区域 ABCD 的 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 $\operatorname{CBF}$（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）。若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是

6．设 $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}$ 是复数，则下列命题中的假命题是

7．设 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，若 $b \cos C+c \cos B=a \sin A$，则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的形状为

8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x-\frac{1}{x}\right)^{4}, & x<0, \\ -\sqrt{x}, & x \geq 0 .\end{array}\right.$，则当 $\mathrm{x}>0$ 时，$f[f(x)]$ 表达式的展开式中常数项为

9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 $300 \mathrm{~m}^{2}$ 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 $x$（单位 $m$ ）的取值范围是

10．设 $[\mathrm{x}]$ 表示不大于 x 的最大整数，则对任意实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$，有

11．双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{5}{4}$，则 m 等于 $\_\_\_\_$．

12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为 $\_\_\_\_$．

13．若点 $(x, y)$ 位于曲线 $y=|x-1|$ 与 $\mathrm{y}=2$ 所围成的封闭区域，则 $2 \mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．

14．观察下列等式：
$1^{2}=1$

$1^{2}-2^{2}=-3$
$1^{2}-2^{2}+3^{2}=6$
$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}=-10$

照此规律，第 n 个等式可为 $\_\_\_\_$．

16．（本小题满分 12 分）
已知向量 $\boldsymbol{a}=\left(\cos x,-\frac{1}{2}\right), \boldsymbol{b}=(\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in \boldsymbol{R}$，设函数 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小正周期．
（II）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

17．（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 q 的等比数列．
（I）推导 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和公式；
（II）设 $\mathrm{q} \neq 1$，证明数列 $\left\{a_{n}+1\right\}$ 不是等比数列．

18．（本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， $\mathrm{A}_{1} \mathrm{O} \perp$ 平面 ABCD， $A B=A A_{1}=\sqrt{2}$.

（I）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$；
（II）求平面 $\mathrm{OCB}_{1}$ 与平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{D}_{1} \mathrm{D}$ 的夹角 $\theta$ 的大小．

19．（本小题满分 12 分）
在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手（1 至 5 号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手。

各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名选手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名。观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3名歌手。
（I）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；
（II） X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求 X 的分布列和数学期望．

20．（本小题满分 13 分）
已知动圆过定点 $\mathrm{A}(4,0)$，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8．
（I）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；
（II）已知点 $\mathrm{B}(-1,0)$，设不垂直于 x 轴的直线 $l$ 与轨迹 C 交于不同的两点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$，若 x 轴是 $\angle P B Q$的角平分线，证明直线 $l$ 过定点．

21．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in \boldsymbol{R}$．

（I）若直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 与 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的反函数的图像相切，求实数 k 的值；
（II）设 $\mathrm{x}>0$，讨论曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与曲线 $y=m x^{2}(m>0)$ 公共点的个数．
（III）设 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$，比较 $\frac{f(a)+f(b)}{2}$ 与 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 的大小，并说明理由．