2013 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．复数 $\mathrm{z}=\mathrm{i} \cdot(1+\mathrm{i})(\mathrm{i}$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于

2．＂ $1<x<2$＂是＂$x<2$＂成立的

4．已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数， $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 是偶函数，且 $\mathrm{f}(-1)+\mathrm{g}(1)=2, \mathrm{f}(1)+\mathrm{g}(-1)=4$，则 $\mathrm{g}(1)$等于

5．在锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, ~ \mathrm{~B}$ 所对的边长分别为 a， b．若 $2 \mathrm{asin} \mathrm{B}=\sqrt{3} \mathrm{~b}$，则角 A 等于

6．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图像与函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4$ 的图像的交点个数为

7．已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 $\sqrt{2}$ 的矩形，则该正方体的正视图的面积等于

8．已知 $a, b$ 是单位向量，$a \cdot b=0$．若向量 $c$ 满足 $|c-a-b|=1$，则 $|c|$ 的最大值为

9．已知事件＂在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使 $\triangle \mathrm{APB}$ 的最大边是 AB ＂发生的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\frac{A D}{A B}=$

10．已知集合 $U=\{2,3,6,8\}, A=\{2,3\}, B=\{2,6,8\}$，则 $(C \cup A) \cap B=$ $\_\_\_\_$

12．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2$，则输出的 a 的值为 $\_\_\_\_$

图1

13．若变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y \leq 8, \\ 0 \leq x \leq 4, \\ 0 \leq y \leq 3,\end{array}\right.$ 则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$

14．设 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 是双曲线 $\mathrm{C}, \frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0)$ 的两个焦点。若在 C 上存在一点 P。使 $\mathrm{PF}_{1} \perp \mathrm{PF}_{2}$，且 $\angle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}=30^{\circ}$，则 C 的离心率为

15．对于 $\mathrm{E}=\left\{\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots \mathrm{a}_{100}\right\}$ 的子集 $\mathrm{X}=\left\{a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \ldots, a_{i_{k}}\right\}$，定义 X 的＂特征数列＂为 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \ldots, \mathrm{x}_{100}$，其中 $x_{i_{1}}=x_{i_{2}}=\ldots=x_{i_{k}}=1$．其余项均为 0，例如子集 $\left\{\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right\}$ 的 ＂特征数列＂为 $0,1,0,0, \ldots, 0$
（1）子集 $\left\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\right\}$ 的＂特征数列＂的前三项和等于
（2）若 $E$ 的子集 $P$ 的＂特征数列＂$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{100}$ 满足 $P_{1}+P_{i+1}=1,1 \leqslant i \leqslant 99$； E 的子集 Q 的＂特征数列＂ $\mathrm{q}_{1}, \mathrm{q}_{2}, \ldots, \mathrm{q}_{100}$ 满足 $\mathrm{q}_{1}=1, \mathrm{q}_{1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+1}+\mathrm{q}_{\mathrm{j}+2}=1$， $1 \leqslant \mathrm{j} \leqslant 98$，则 $\mathrm{P} \cap \mathrm{Q}$ 的元素个数为

16．（本小题满分 12 分）

已知函数 $f(x)=\cos x \cdot \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

（1）求 $f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ 的值；
（2）求使 $f(x)<\frac{1}{4}$ 成立的 x 的取值集合

17．（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积

18．（本小题满分 12 分）
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量 $Y$（单位： kg ）与它的＂相近＂作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

这里，两株作物＂相近＂是指它们之间的直线距离不超过 1 米。
（I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．

19．（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

20．（本小题满分 13 分）
已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$ 的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $x+y-2=0$ 的对称点是圆 $C$ 的一条直径的两个端点。
（I）求圆 $C$ 的方程；
（II）设过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 被椭圆 $E$ 和圆 $C$ 所截得的弦长分别为 $a, b$。当 $a b$ 最大时，求直线 $l$ 的方程。

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{x}}{1+x^{2}} e^{x}$．
（I）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
（II）证明：当 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}\right)$ 时， $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}<0$．