2013 地方卷 · 理 数学

在复平面内，复数 $\mathrm{z}=\frac{2 i}{1-i}$（ $i$ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于

已知集合为 R，集合 $A=\left\{x \left\lvert\,\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \leq 1\right.\right\}, B=\left\{\mathrm{x} \mid x^{2}-6 x-8 \leq 0\right\}$，则 $A \cap C_{R} B=$
A．$\{x \mid x \leq 0\}$
B．$\{x \mid 2 \leq x \leq 4\}$
$C .\{x \mid 0 \leq x<2$ 或 $\mathrm{x}>4\}$
D．$\{x \mid 0<x \leq 2$ 或 $\mathrm{x} \geq 4\}$

在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次。设命题 $p$ 是＂甲降落在指定范围＂，$q$ 是＂乙降落在指定范围＂，则命题＂至少有一位学员没有降落在指定范围＂可表示为

将函数 $y=\sqrt{3} \cos x+\sin x(x \in R)$ 的图像向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度后，所得到的图像关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是

已知 $0<\theta<\frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_{1}: \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$ 与 $C_{2}: \frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}-\frac{x^{2}}{\sin ^{2} \theta \tan ^{2} \theta}=1$ 的

已知点 $\mathrm{A}(-1,1), \mathrm{~B}(1,2), \mathrm{C}(-2,1), \mathrm{D}(3,4)$，则向量 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{C D}$ 方向上的投影为

一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 $v(t)=7-3 t+\frac{25}{1+t}(t$ 的单位：$s, v$ 的单位：$m / s$ ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：$m$ ）是

已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x(\ln x-a x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}\left(x_{1}<x_{2}\right)$，则

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 $\mathrm{i}=$ $\_\_\_\_$。

第11題图

设 $x, y, z \in R$，且满足：$x^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=1, \mathrm{x}+2 y+3 z=\sqrt{14}$，则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=$ $\_\_\_\_$．

古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1,3,6,10, \ldots$，第 n 个三角形数为 $\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\frac{1}{2} n$，记第 n 个 k 边形数为 $N(n, k)(k \geq 3)$，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：

三角形数 $\quad N(n, 3)=\frac{1}{2} n^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{n}$
正方形数 $\quad N(n, 4)=n^{2}$
五边形数 $\quad N(n, 5)=\frac{3}{2} n^{2}-\frac{1}{2} \mathrm{n}$
六边形数 $\quad N(n, 6)=2 n^{2}-\mathrm{n}$

可以推测 $\mathrm{N}(\mathrm{n}, \mathrm{k})$ 的表达式，由此计算 $\mathrm{N}(10,24)=$

（选修 4－1：几何证明选讲）
如图，圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $A B$ 上的射影为 $D$，点 $D$ 在半径 $O C$ 上的射影为 $E$．若 $A B=3 A D, \frac{C E}{E O}$ 的值为

（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$．已知 $\cos 2 A-3 \cos (B+C)=1$．
（I）求角 $A$ 的大小；
（II）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{3}, b=5$，求 $\sin B \sin C$ 的值．

（本小题满分 12 分）
已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\left|a_{2}-a_{3}\right|=10, a_{1} a_{2} a_{3}=125$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{a_{n}}>1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分 13 分）

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心原点坐标 $O$，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n(m>n)$，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$．记 $\lambda=\frac{m}{n}, \triangle B D M$ 和 $\triangle A B N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$．
（I）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1}=\lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值；
（II）当 $\lambda$ 变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线 $l$，使得 $S_{1}=\lambda S_{2}$，并说明理由．

第21影图

（本小题满分 14 分）
设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数．
（I）求函数 $f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1) x-1(x>-1)$ 的最小值；
（II）证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+2}}{r+1}<n^{r}<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$；
（III）设 $x \in R$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2]=2,[\pi]=4,\left[-\frac{3}{2}\right]=1$．
令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots \cdots+\sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值。
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}}=344.7,81^{\frac{4}{3}}=350.5,124^{\frac{4}{3}}=618.3,126^{\frac{4}{3}}=631.7$．）