2013 新课标 I 卷 · 文 数学

（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4\}, B=\left\{x \mid x=n^{2}, n \in A\right\}$ ，则 $A \cap B=$（）

（5分）$\frac{1+2 i}{(1-i)^{2}}=$

（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2的概率是（ ）

（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为（ ）

（5分）已知命题 p ：$\forall x \in \mathrm{R}, 2^{x}<3^{x}$ ；命题 $\mathrm{q}: ~ \exists x \in \mathrm{R}, x^{3}=1-x^{2}$ ，则下列命题中为真命题的是（）

（5分）设首项为 1 ，公比为 $\frac{2}{3}$ 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（ ）

（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ）

（5分） O 为坐标原点， F 为抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=4 \sqrt{2} \mathrm{x}$ 的焦点， P 为 C 上一点，若 $|\mathrm{PF}| =4 \sqrt{2}$ ，则 $\triangle P O F$ 的面积为（ ）

（5分）函数 $f(x)=(1-\cos x) \sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 的图象大致为

（5分）已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, 23 \cos ^{2} A+\cos 2 A=0, a=7, c=6$ ，则 $b=$

（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（ ）

（5分）已知两个单位向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}, \vec{c}=t \vec{a}+(1-t) \vec{b}$ ．若 $\vec{b} \bullet \vec{c}=0$ ，则 $\mathrm{t}=$ $\_\_\_\_$ 2。

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}1 \leqslant x \leqslant 3 \\ -1 \leqslant x-y \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=2 x-y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 3。

（5分）已知 $H$ 是球 $O$ 的直径 $A B$ 上一点，$A H$ ：$H B=1: 2, A B \perp$ 平面 $\alpha, H$ 为垂足，$\alpha$ 截球 $O$ 所得截面的面积为 $\pi$ ，则球 $O$ 的表面积为 $\_\_\_\_$ $\frac{9 \pi}{2}$。

（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

（12分）如图，三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$C A=C B, A B=A A_{1}, ~ \angle B A A_{1}=60^{\circ}$
（I）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（II）若 $A B=C B=2, A_{1} C=\sqrt{6}$ ，求三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线$y=f$（x）在点（0，f（
0））处切线方程为$y=4x+4$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

（12分）已知圆M：（ $x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：（ $\left.x-1\right)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ．
（I）求C的方程；
（II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|A B|$ ．