2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=1+2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于

2．已知集合 $A=\{1, a\}, B=\{1,2,3\}$，则＂$a=3$＂是＂$A \subseteq B$＂的

3．双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的顶点到渐进线的距离等于

4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩
分成 6 组：$[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]$ 加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为

5．满足 $a, b \in\{-1,0,1,2\}$，且关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+2 x+b=0$ 有实数解的有序数对的个数为

6．阅读如图所示的程序框图，若编入的 $k=10$，则该算法的功能是

7．在四边形 $A B C D$ 中， $\overrightarrow{A C}=(1,2), \overrightarrow{B D}=(-4,2)$，则该四边形的面积为

8．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论

一定正确的是

9．已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$，记 $b_{n}=a_{m(n-1)+1}+a_{m(n-1)+2}+\cdots+a_{m(n-1)+m}$， $b_{n}=a_{m(n-1)+1} * a_{m(n-1)+2} * \cdots * a_{m(n-1)+m},(m, n \in N *)$，则以下结论一定正确的是

10．设 $S, T$ 是 $R$ 的两个非空子集，如果存在一个从 $S$ 到 $T$ 的函数 $y=f(x)$ 满足：

（i）$T=\{f(x) \mid x \in S\}$；（ii）对任意 $x_{1}, x_{2} \in S$，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，恒有 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$，那么称这两个集合 ＂保序同构＂，以下集合对不是＂保序同构＂的是

12．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是 $\_\_\_\_$

13．如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知点 $D$ 在 $B C$ 边上，$A D \perp A C, \sin \angle B A C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A B=3 \sqrt{2}, A D=3$，则 $B D$ 的长为 $\_\_\_\_$

14．椭圆 $\Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$，焦距为 $2 c$，若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆的一个交点满足 $\angle M F_{1} F_{2}=2 \angle M F_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率等于 $\_\_\_\_$

15．当 $x \in R,|x|<1$ 时，有如下表达式：

$ 1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots=\frac{1}{1-x} $

两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x+\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x+\cdots \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x+\cdots=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x} d x$
从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n+1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\cdots=\ln 2$.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} C_{n}^{1} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{3} C_{n}^{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n+1} C_{n}^{n} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=$

16．（本小题满分 13 分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 $X$，求 $X \leq 3$ 的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

17．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=x-a \ln x(a \in R)$
（1）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 的极值

18．（本小题满分 13 分）
如图，在正方形 $O A B C$ 中，$O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(10,0)$，点 $C$ 的坐标为 $(0,10)$，分别将线段 $O A$ 和 $A B$ 十等分，分点分别记为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$ 和 $B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{9}$，连接 $O B_{i}$，过 $A_{i}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $O B_{i}$交于点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$。

（1）求证：点 $P_{i}\left(i \in N^{*}, 1 \leq i \leq 9\right)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线 $E$ 的方程；
（2）过点 $C$ 作直线 $l$ 与拖物线 E 交于不同的两点 $M, N$，若 $\triangle O C M$ 与 $\triangle O C N$ 的面积之比为 $4: 1$，求直线 $l$ 的方程。

19．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C D$，
$A B / / D C, A A_{1}=1, A B=3 k, A D=4 k, B C=5 k, D C=6 k,(k>0)$
（1）求证：$C D \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$
（2）若直线 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$ 的值
（3）现将与四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f(k)$，写出 $f(k)$ 的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）

20．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=\sin (w x+\varphi)(w>0,0<\varphi<\pi)$ 的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{\pi}{2}$ 单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象。
（1）求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式

（2）是否存在 $x_{0} \in\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f\left(x_{0}\right), g\left(x_{0}\right), f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_{0}$ 的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x)=f(x)+a g(x)$ 在 $(0, n \pi)$ 内恰有2013个零点