2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

（1）复数的 $Z=\frac{1}{i-1}$ 模为

（2）已知集合 $A=\left\{x \mid 0<\log _{4} x<1\right\}, B=\{x \mid x \leq 2\}$，则 $A \cap B=$

（3）已知点 $A(1,3), B(4,-1)$，则与向量 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 司方向的单位向量为

（4）下面是关于公差 $d>0$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的四个命题：
$p_{1}$：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{3}$：数列 $\left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{2}$：数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是递增数列；
$p_{4}$：数列 $\left\{a_{n}+3 n d\right\}$ 是递增数列；

其中的真命题为

（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，

数据的分组一次为 $[20,40),[40,60),[60,80), 8[20,100)$．
若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是

（6）在 $\triangle A B C$，内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c . a \sin B \cos C+c \sin B \cos A=\frac{1}{2} b$，且 $a>b$，则 $\angle B=$

（7）使得 $\left(3 x+\frac{1}{x \sqrt{x}}\right)^{n}\left(n \in N_{+}\right)$的展开式中含有常数项的最小的 $n$ 为

（8）执行如图所示的程序框图，若输入 $n=10$，则输出的 $S=$

（9）已知点 $O(0,0), A(0, b), B\left(a, a^{3}\right)$。若 $\Delta \mathrm{ABC}$ 为直角三角形，则必有

（10）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点都在球 $O$ 的球面上．若 $A B=3, A C=4$， $A B \perp A C, A A_{1}=12$，则球 $O$ 的半径为

（11）已知函数 $f(x)=x^{2}-2(a+2) x+a^{2}, g(x)=-x^{2}+2(a-2) x-a^{2}+8$．设 $H_{1}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, H_{2}(x)=\min \{f(x), g(x)\},(\max \{p, q\})$ 表示 $p, q$ 中的较大值，

$\min \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中的较小值，记 $H_{1}(x)$ 得最小值为 $A, H_{2}(x)$ 得最小值为 $B$，则 $A-B=(\quad)$

（12）设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$，则 $x>0$，时，$f(x)$

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 $\_\_\_\_$．

（14）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列，$S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $a_{1}, a_{3}$ 是方程
$x^{2}-5 x+4=0$ 的两个根，则 $S_{6}=$ $\_\_\_\_$

（15）已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, C$ 与过原点的直线相交于 $A, B$ 两点，连接 $A F, B F$．若 $|A B|=10,|A F|=6, \cos \angle \mathrm{ABF}=\frac{4}{5}$，则 $C$ 的离心率 $e=$ $\_\_\_\_$．

（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据．已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 $\_\_\_\_$．