空间坐标系建系出错高考易错题

17．已知四棱锥 $P-A B C D, A D / / B C, A B=B C=1, A D=3, D E=P E=2, E$ 是 $A D$ 上一点， $P E \perp A D$ ．

（1）若 $F$ 是 $P E$ 中点，证明：$B F / /$ 平面 $P C D$ ．
（2）若 $A B \perp$ 平面 $P E D$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

19．如图，在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D, E F / / A D, A D=4, A B=B C=E F=2, E D=\sqrt{10}, F B=2 \sqrt{3}$ ，$M$ 为 $A D$ 的中点．

（1）证明：$B M / /$ 平面 $C D E$ ；
（2）求二面角 $F-B M-E$ 的正弦值．

17．如图，平面四边形 $A B C D$ 中，$A B=8, C D=3, A D=5 \sqrt{3}, \angle A D C=90^{\circ}, \angle B A D=30^{\circ}$ ，点 $E$ ， $F$ 满足 $\overrightarrow{A E}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A F}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ ，将 $\triangle A E F$ 沿 $E F$ 对折至！$P E F$ ，使得 $P C=4 \sqrt{3}$ ．

（1）证明：$E F \perp P D$ ；
（2）求面 $P C D$ 与面 $P B F$ 所成的二面角的正弦值．

19．如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, B P, A P, B C$的中点分别为 $D, E, O, A D=\sqrt{5} D O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上，$B F \perp A O$ ．

（1）证明：$E F / /$ 平面 $A D O$ ；

（2）证明：平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F$ ；
（3）求二面角 $D-A O-C$ 的正弦值．

9．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则（ ）

19．如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形，$A B / / D C, D C / / E F, A B=5, D C=3$ ， $E F=1, \angle B A D=\angle C D E=60^{\circ}$ ，二面角 $F-D C-B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ．设 $M, N$ 分别为 $A E, B C$ 的中点．

（1）证明：$F N \perp A D$ ；
（2）求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

12．在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=A A_{1}=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B P}=\lambda \overrightarrow{B C}+\mu \overrightarrow{B B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， $\mu \in[0,1]$ ，则（ ）

19．如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $\angle A B C=120^{\circ}, A B=1, B C=4, P A=\sqrt{15}, M, N$ 分别为 $B C, P C$ 的中点，$P D \perp D C, P M \perp M D$ ．

（1）证明：$A B \perp P M$ ；
（2）求直线 $A N$ 与平面 $P D M$ 所成角的正弦值．

16．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

（I）求证：$B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值．

20．如图，已知三棱柱 $A B C$－
$A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是正三角形，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，$M, N$ 分别为 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 为 $A M$ 上一点，过 $B_{1} C_{1}$ 和 $P$ 的平面交 $A B$ 于 $E$ ，交 $A C$ 于 $F$ ．

（1）证明：$A A_{1} / / M N$ ，且平面 $A_{1} A M N \perp E B_{1} C_{1} F$ ；
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，若 $A O / /$ 平面 $E B_{1} C_{1} F$ ，且 $A O=A B$ ，求直线 $B_{1} E$ 与平面 $A_{1} A M N$ 所成角的正弦值．

19．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上，且 $2 D E=E D_{1}$ ， $B F=2 F B_{1}$.

（1）证明：点 $C_{1}$ 在平面 $A E F$ 内；
（2）若 $A B=2, A D=1, A A_{1}=3$ ，求二面角 $A-E F-A_{1}$ 的正弦值．

18．如图，直四棱柱 $A B C D-$
$A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形，$A A_{1}=4, A B=2, \angle B A D=60^{\circ}, E, M, N$ 分别是 $B C, B B_{1}, A_{1} D$ 的中点。

（1）证明：$M N / /$ 平面 $C_{1} D E$ ；
（2）求二面角 $A-M A_{1}-N$ 的正弦值．

19．如图，已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}$ ， $\angle B A C=30^{\circ}, A_{1} A=A_{1} C=A C, E, F$ 分别是 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点．

（1）证明：$E F \perp B C$ ；
（2）求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值．

7．如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=4, A A_{1}=5, \mathrm{O}$ 是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $A-A_{1} O B_{1}$的体积为 $\_\_\_\_$

（第7题）

18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{PAB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}, \mathrm{E}$ 为边 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 $90^{\circ}$。
（I）在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 $\mathrm{CM} / /$ 平面 PBE，．并说明理由；
（II）若二面角 $P-C D-A$ 的大小为 $45^{\circ}$，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．

17．（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

17．如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， $\mathrm{AB}^{\wedge}$ 平面 $\mathrm{BEC}, \mathrm{BE}^{\wedge} \mathrm{EC}, \mathrm{AB}=\mathrm{BE}=\mathrm{EC}=2, \mathrm{G}$ ， F 分别是线段 $\mathrm{BE}, \mathrm{DC}$ 的中点．
（ I ）求证：$G F / /$ 平面 $A D E$ ；
（II）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \angle \mathrm{BAD}=\frac{\pi}{2}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ ， $\mathrm{AD}=2, \mathrm{E}$ 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点。将 $\triangle \mathrm{ABE}$ 沿 BE 折起到 $\Delta \mathrm{A}_{1} \mathrm{BE}$ 的位置，如图2．

图1

图2

（I）证明： $\mathrm{CD} \perp$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{OC}$ ；
（II）若平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BE} \perp$ 平面 BCDE ，求平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{BC}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CD}$ 夹角的余弦值．

18．三棱锥 $A-B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示．设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点，$P$ 为线段 $B C$上的点，且 $M N \perp N P$ ．
（1）证明：$P$ 为线段 $B C$ 的中点；
（2）求二面角 $A-N P-M$ 的余弦值．

侧视图

俯视图

19．（本小题满分 12 分）
如图，$\triangle A B C$ 和 $\triangle B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B=B C=B D=2, \angle A B C=\angle D B C=120^{\circ}, E, F$ 分别为 $A C, D C$ 的中点．
（1）求证：$E F \perp B C$；
（2）求二面角 $E-B F-C$ 的正弦值．

19．（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
如题（19）图，四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形，$P O \perp$ 底面 $A B C D$， $A B=2, \angle B A D=\frac{\pi}{3}, M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M=\frac{1}{2}, M P \perp A P$．
（I）求 $P O$ 的长；
（II）求二面角 $A-P M-C$ 的正弦值．

题（19）图

7．在如图所示的空间直角坐标系 $O-x y z$ 。中，一个四面体的顶点坐标分别是 $(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1)$ ， （ $2,2,2$ ），给出编号（1）、（2）、（3）、（4）的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

图（1）

图（2）

图（3）

图（4）

8．（5 分）如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为对角线 $B D_{1}$ 的三等分点，$P$到各顶点的距离的不同取值有（）

11．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

19．（本小题满分 12 分）
如图5，在直棱柱
$A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A D / / B C, \angle B A D=90^{\circ}, A C \perp B D, B C=1, A D=A A_{1}=3$．
（I）证明：$A C \perp B_{1} D$；
（II）求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值。

图5

19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 是线段 $A D$ 的中点．
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$，交 $A C$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值．

（14）若平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a}-\vec{b}| \leq 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

10．直线 $y=k x+3$ 与圆 $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4$ 相交于 $M , N$ 两点，若 $|M N| \geqslant 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是

（18）（本题 14 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互
相垂直， $\mathrm{BE} / / \mathrm{CF}, \angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CEF}=90^{\circ}, \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \mathrm{EF}=2$ 。
（I）求证： $\mathrm{AE} / /$ 平面 DCF ；
（II）当 AB 的长为何值时，二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？

（第18题）