2011 北京卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2011•北京）已知集合 $P=\left\{x \mid x^{2} \leq 1\right\}, M=\{a\}$ ．若 $P \cup M=P$ ，则 $a$ 的取值范围是 ）

1．（5分）（2011•北京）已知集合$P={x|x2$≤1}，$M={a}$．若P∪$M=P$，则a的取值范围是（　　
）
A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

2．（5分）（2011•北京）复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

3．（5分）（2011•北京）在极坐标系中，圆 $\rho=-2 \sin \theta$ 的圆心的极坐标系是

4．（5分）（2011•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）

5．（5分）（2011•北京）如图， $\mathrm{AD}, \mathrm{AE}, \mathrm{BC}$ 分别与圆 O 切于点 $\mathrm{D}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，延长 AF 与圆 O交于另一点G．给出下列三个结论：
① $\mathrm{AD}+\mathrm{AE}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$ ；② $\mathrm{AF} \bullet \mathrm{AG}=\mathrm{AD} \bullet \mathrm{AE}$③$\triangle \mathrm{AFB} \sim \triangle \mathrm{ADG}$
其中正确结论的序号是（）

6．（5分）（2011•北京）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟 ）为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{c}{\sqrt{x}}, & x<A \\ \frac{c}{\sqrt{A}}, & x \geqslant A\end{array}\right.$（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 A 件产品用时15分钟，那么 c 和 A 的值分别是（）

7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）

8．（5分）（2011•北京）设 $\mathrm{A}(0,0), \mathrm{B}(4,0), \mathrm{C}(\mathrm{t}+4,4), \mathrm{D}(\mathrm{t}, 4)(\mathrm{t} \in \mathrm{R})$ 。记 $\mathrm{N} ~(\mathrm{t}) ~$ 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 $N(t)$ 的值域为（ ）

9．（5分）（2011•北京）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \quad \angle \mathrm{~B}=\frac{\pi}{4}, \tan \mathrm{~A}=2$ ，则 $\sin \mathrm{A}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ； $\mathrm{a}= 2 \sqrt{10}$ ．

10．（5分）（2011•北京）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(\sqrt{3}, 1), \overrightarrow{\mathrm{b}}=(0,-1), \overrightarrow{\mathrm{c}}=(\mathrm{k}, \sqrt{3})$ ．若 $\overrightarrow{\mathrm{a}}-2 \overrightarrow{\mathrm{~b}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ 共线，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

11．（5分）（2011•北京）在等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{4}=-4$ ，则公比 $\mathrm{q}=$ $\_\_\_\_$ －2
$;\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|=-2^{n-1}-\frac{1}{2}-$.

12．（5分）（2011•北京）用数字 2 ， 3 组成四位数，且数字 2 ， 3 至少都出现一次，这样的四位数共有 $\_\_\_\_$ 14个．（用数字作答）

13．（5分）（2011•北京）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}, x \geqslant 2 \\ (x-1)^{3}, x<2\end{array}\right.$ 若关于 $x$
的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{k}$ 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $(0,1)$。

14．（5 分）（2011 • 北京）曲线 C 是平面内与两个定点 $\mathrm{F}_{1}(-1,0)$ 和 $\mathrm{F}_{2}(1,0)$ 的距离的积等于常数 $\mathrm{a}^{2}(\mathrm{a}>1)$ 的点的轨迹。给出下列三个结论：
①曲线 C 过坐标原点；
②曲线 C 关于坐标原点对称；
③若点 P 在曲线 C 上，则 $\triangle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2}$ 的面积不大于 $\frac{1}{2} \mathrm{a}^{2}$ 。
其中，所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ②③ ．

15．（13分）（2011•北京）已知函数 $f(x)=4 \cos x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1$ ．
（ I ）求 $f(x)$ 的最小正周期：
（II）求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

16．（14分）（2011•北京）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形， $\mathrm{AB}=2, ~ \angle \mathrm{BAD}=60^{\circ}$ 。
（I）求证： $\mathrm{BD} \perp$ 平面 PAC ；
（II）若 $\mathrm{PA}=\mathrm{AB}$ ，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；
（III）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．

17．（13分）（2011 •北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（I）如果 $\mathrm{X}=8$ ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（II）如果 $\mathrm{X}=9$ ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望。
（注：方差 $s^{2}=\frac{1}{n}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{2}+\left(x_{2}-\bar{x}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-\bar{x}\right)^{2}\right]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1}, x_{2}$ ，... $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ 的平均数）

甲组

乙组

18．（13分）（2011•北京）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{k})^{2} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{k}}}$ 。
（I）求 f （ x ）的单调区间；
（II）若对于任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，都有 $f(x) \leq \frac{1}{e}$ ，求 $k$ 的取值范围．

19．（14分）（2011•北京）已知随圆 $G: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．过点 $(m, 0)$ 作圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的切线 $I$交椭圆G于A，B两点。
（I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；
（II）将 $|\mathrm{AB}|$ 表示为 m 的函数，并求 $|\mathrm{AB}|$ 的最大值．

20．（13分）（2011•北京）若数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 满足 $\left|\mathrm{a}_{\mathrm{k}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{k}}\right|=1 ~(\mathrm{k}=1, ~ 2, ~ \ldots , n-1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}$ ．
（I）写出一个满足 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}_{\mathrm{s}}=0$ ，且 $\mathrm{S}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{s}}\right)>0$ 的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；
（II）若 $\mathrm{a}_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明： E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 是递增数列的充要条件是 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2011$ ；
（III）对任意给定的整数 $n(n \geq 2)$ ，是否存在首项为 0 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ ；如果不存在，说明理由。