2008 quanguo_old_i · 文 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）函数 $\mathrm{y}=\sqrt{1-\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}$ 的定义域为

2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是

3．（5分）$\left(1+\frac{x}{2}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数（ ）

4．（5分）曲线 $y=x^{3}-2 x+4$ 在点（1，3）处的切线的倾斜角为

5．（5分）在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A B}=\vec{c}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}$ ．若点 $D$ 满足 $\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}$ ，则 $\overrightarrow{A D}=$

6．（5分） $\mathrm{y}=(\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x})^{2}-1$ 是

7．（5分）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=3, a_{2}+a_{3}=6$ ，则 $a_{7}=$

8．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$

9．（5分）为得到函数 $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象（

10．（5分）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 有公共点，则（）

11．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $\triangle A B C$ 的中心，则 $A B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值等于（） 

12．（5分）将 1，2，3填入 $3 \times 3$ 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（） | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | | 3 | 1 | 2 | | 2 | 3 | 1 |

13．（5分）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant 0 \\ x-y+3 \geqslant 0 \\ 0 \leqslant x \leqslant 3\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-y$ 的最大值为 9 ．

14．（5分）已知抛物线 $y=a x^{2}-1$ 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $\_\_\_\_$ 2。

15．（5分）在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A=90^{\circ}, \tan B=\frac{3}{4}$ ．若以 $A , B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $\mathrm{e}=-\frac{1}{2}$ — ．

16．（5分）已知菱形 $A B C D$ 中，$A B=2, \angle A=120^{\circ}$ ，沿对角线 $B D$ 将 $\triangle A B D$ 折起，使二面角 $A-B D-C$ 为 $120^{\circ}$ ，则点 $A$ 到 $\triangle B C D$ 所在平面的距离等于 $\underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ —。

17．（10分）设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 所对的边长分别为 $a , b , c$ ，且 $a \cos B=3, b \sin \mathrm{A}=4$ ． （I）求边长 a ； （ II ）若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=10$ ，求 $\triangle A B C$ 的周长I． 

18．（12分）四棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCDE}$ ，底面 BCDE 为矩形，侧面 $\mathrm{ABC} \perp$ 底面 $\mathrm{BCDE}, \mathrm{BC}=2$ ，$C D=\sqrt{2}, A B=A C$ ． （ I ）证明：$A D \perp C E$ ； （II）设CE与平面 ABE 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求二面角 $\mathrm{C}-\mathrm{AD}-\mathrm{E}$ 的大小。 

19．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ 。 （I）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$ ．证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列； （II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病。下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ． （I）当 $a=3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间； （II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

22．（12分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 $\mathrm{I}_{1}, \mathrm{I}_{2}$ ，经过右焦点 $F$ 垂直于 $I_{1}$ 的直线分别交 $I_{1}, I_{2}$ 于 $A, B$ 两点。已知 $|\overrightarrow{O A}| ,|\overrightarrow{A B}| , \mid \overrightarrow{O B}$ ｜成等差数列，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}$ 同向． （I）求双曲线的离心率； （II）设 $A B$ 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程．