2008 quanguo_old_ii · 理 数学　·　真题试卷（在线练习）

1．（5分）设集合 $M=\{m \in Z \mid-3<m<2\}, N=\{n \in Z \mid-1 \leq n \leq 3\}$ ，则 $M \cap N=$ ）

2．（5分）设 $a, b \in R$ 且 $b \neq 0$ ，若复数（ $a+b i)^{3}$ 是实数，则（ ）

3．（5分）函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x$ 的图象关于

4．（5分）若 $x \in\left(e^{-1}, 1\right), a=\ln x, b=2 \ln x, c=\ln ^{3} x$ ，则（）

5．（5分）设变量 $x, y$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}y \geqslant x \\ x+2 y \leqslant 2 \\ x \geqslant-2\end{array}\right.$ 则 $z=x-3 y$ 的最小值 ）

6．（5分）从20名男同学， 10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）

7．（5分）$(1-\sqrt{x})^{6}(1+\sqrt{x})$ 4的展开式中 $x$ 的系数是（ ）

8．（5分）若动直线 $x=a$ 与函数 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=\cos x$ 的图象分别交于 $M, N$两点，则 $|M N|$ 的最大值为（ ）

9．（5分）设 $a>1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是（ ）

10．（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点 ，则 AE 、 SD 所成的角的余弦值为（ ）

11．（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 $x+y-2=0$ 与 $x-7 y-4=0$ ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为

12．（5分）已知球的半径为 2 ，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ）

13．（5分）设向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(2,3)$ ，若向量 $\lambda \vec{a}+\vec{b}$ 与向量 $\vec{c}=(-4,-7)$ 共线，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ 2 ．

14．（5分）设曲线 $y=e^{a x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $x+2 y+1=0$ 垂直，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 2

15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，过 $F$ 且斜率为 1 的直线交 $C$ 于 $A$ ，$B$ 两点．设 $|F A|>|F B|$ ，则 $|F A|$ 与 $|F B|$ 的比值等于 $\_\_\_\_$ $3+2 \sqrt{2}$。

16．（5分）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①三组对面分别平行的四棱柱为平行六面体 充要条件②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；。 （写出你认为正确的两个充要条件）

17．（10分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\cos \mathrm{B}=-\frac{5}{13}, \cos \mathrm{C}=\frac{4}{5}$ ． （1）求 $\sin \mathrm{A}$ 的值 ②设 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}=\frac{33}{2}$ ，求 $B C$ 的长．

18．（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000元的赔偿金。假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立。已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000元的概率为1－0．999 $10^{4}$ ． （I）求一投保人在一年度内出险的概率 p ； （II）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0 ，求每位投保人应交纳的最低保费（单位 ：元）。

19．（12分）如图，正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B=4$ ，点 $E$ 在 $C C_{1}$ 上且 $C_{1} \mathrm{E}=3 \mathrm{EC}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \perp$ 平面 BED ； （II）求二面角 $\mathrm{A}_{1}-\mathrm{DE}-\mathrm{B}$ 的大小． 

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．已知 $a_{1}=a, a_{n+1}=S_{n}+3^{n}, n \in N^{*}$ ． （I）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}-3^{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）若 $a_{n+1} \geq a_{n}, n \in N^{*}$ ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12分）设椭圆中心在坐标原点，$A(2,0), B(0,1)$ 是它的两个顶点 ，直线 $y=k x(k>0)$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与椭圆相交于 $E , F$ 两点． （I）若 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}=6 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，求 k 的值； （II）求四边形AEBF面积的最大值．

22．（12分）设函数 $f(x)=\frac{\sin x}{2+\cos x}$ ． （I）求 $f(x)$ 的单调区间； （II）如果对任何 $x \geq 0$ ，都有 $f(x) \leq a x$ ，求 $a$ 的取值范围。