2011 大纲卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）复数 $z=1+i, \bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $z \cdot \bar{z}-z-1=$（）

2．（5分）函数 $y=2 \sqrt{x}(x \geq 0)$ 的反函数为（ ）

3．（5分）下面四个条件中，使 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件是

3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）

4．（5分）设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2, S_{k+2}-S_{k}=24$ ，则 $\mathrm{k}=$

5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将$y=f$（x）的图象向右平移 个单
位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）
A．B．3 C．6 D．9

5．（5分）设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega>0)$ ，将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于（）

6．（5分）已知直二面角 $\alpha-I-\beta$ ，点 $A \in \alpha, A C \perp I, C$ 为垂足，$B \in \beta, B D \perp I, D$ 为垂足，若 $A B=2, A C=B D=1$ ，则 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离等于（ ）

7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）

8．（5分）曲线$y=e$﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线$y=0$和$y=x$围成的三角形
的面积为（　　）
A．B．C．D．1

8．（5分）曲线 $y=e^{-2 x}+1$ 在点（ 0,2 ）处的切线与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形的面积为（ ）

9．（5分）设 $f(x)$ 是周期为 2 的奇函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时，$f(x)=2 x(1-x)$ ，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=(\quad)$

10．（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y=2 x-4$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\cos \angle \mathrm{AFB}=$（ ）

11．（5分）已知平面 $\alpha$ 截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 $\alpha$ 成 $60^{\circ}$ 二面角的平面 $\beta$ 截该球面得圆 $N$ ，若该球的半径为 4 ，圆 $M$ 的面积为 $4 \pi$ ，则圆 $N$ 的面积为

12．（5分）设向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}, \overrightarrow{\mathrm{c}}$ 满足 $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=1, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\frac{1}{2},\langle\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\rangle=6 0^{\circ}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{c}}|$ 的最大值等于（ ）

13．（5分）$(1-\sqrt{x})^{20}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数与 $x^{9}$ 的系数之差为 0。

14．（5分）已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan 2 \alpha=$ $\_\_\_\_$ $-\frac{4}{3}$ ．

15．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ：$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$ 的左、右焦点，点 $A \in C$ ，点 $M$ 的坐标为 $(2,0), A M$ 为 $\angle F_{1} A F_{2}$ 的平分线，则 $\left|A F_{2}\right|=$ $\_\_\_\_$ 6。

16．（5分）已知 $E$ 、 $F$ 分别在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $B B_{1} , C C_{1}$ 上，且 $B_{1} E=2 E B, C F=2 F C_{1}$ ，则面 $A E F$ 与面 $A B C$ 所成的二面角的正切值等于 $-\frac{\sqrt{2}}{3}$

17．（10分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ．已知 $A-C=\frac{\pi}{2}, a+c =\sqrt{2} \mathrm{~b}$ ，求 c ．

18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5 ，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3．设各车主购买保险相互独立．
（I）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；
（II）X表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

19．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，$A B \| C D, B C \perp C D$ ，侧面 $S A B$ 为等边三角形， $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2, \mathrm{CD}=\mathrm{SD}=1$ ．
（I）证明：$S D \perp$ 平面 $S A B$ ；
（II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

20．（12分）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0$ 且 $\frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_{n}}=1$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1-\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}}}{\sqrt{\mathrm{n}}}$ ，记 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{b}_{\mathrm{k}}$ ，证明： $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<1$ ．

21．（12分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 为椭圆 $C: x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 在 $y$ 轴正半轴上的焦点 ，过 F 且斜率为 $-\sqrt{2}$ 的直线 I C 交于 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 两点，点 P 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{0}$ ．
（ I ）证明：点 P 在 C 上；
（II）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明： $\mathrm{A} , \mathrm{P} , \mathrm{~B} , \mathrm{Q}$ 四点在同一圆上．

22．（12分）（I）设函数 $f(x)=\ln (1+x) \frac{2 x}{x+2}$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x)>0$
（II）从编号1到100的 100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ，证明：

$ \mathrm{p}<\left(\frac{9}{10}\right)^{19}<\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} . $