2011 浙江卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1、（2011•浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}-x, x \leq 0 \\ x^{2}, x>0\end{array}\right.$ ，若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=4$ ，则实数 $\mathrm{a}=(\quad)$

2、（2011 •浙江）把复数 z 的共轭复数记作 $\bar{Z}$ ， i 为虚数单位。若 $\mathrm{z}=1+\mathrm{i}$ ，则（ $1+\mathrm{z}$ ）$\bullet \bar{Z}=~()$

3、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 的祕图

4、（2011•浙江）下列命题中错误的是
$A$ 、如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定存在直线平行于平面 $\beta$
B、如果平面 $\alpha$ 不垂直于平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内一定不存在直线垂直于平面 $\beta$
C、如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\gamma$ ，平面 $\beta \perp$ 平面 $\gamma$ ，$\alpha \cap \beta=\mathrm{I}$ ，那么 $\mathrm{I} \perp$ 平面 $\gamma$
D、如果平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$ ，那么平面 $\alpha$ 内所有直线都垂直于平面 $\beta$

考点：平面与平面垂直的性质。
专题：常规题型。

分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题。在解答时：A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答； C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D 结合实物举反例即可．

5、（2011•浙江）设实数 $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-5>0 \\ 2 x+y-7>0, \\ x \geq 0, y \geq 0\end{array}\right.$ 若 $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 为整数，则 $3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}$ 的最小值是（）

6、（2011•浙江）若 $0<\mathrm{a}<\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}<\beta<0, \cos \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{1}{3}, \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos \left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)=()$

7、（2011 • 浙江）若 a 、 b 为实数，则＂ $0<\mathrm{ab}<1$＂是＂ $\mathrm{a}<\frac{1}{\mathrm{~b}}$＂或＂ $\mathrm{b}>\frac{1}{\mathrm{a}}$＂的

8、（2011•浙江）已知椭圆 $\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$ ，则 k 的值为（ ）

9、（2011 • 浙江）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）

10、（2011•浙江）设 $a, b, c$ 为实数，$f(x)=(x+a)\left(x^{2}+b x+c\right), g(x)=(a x+1)\left(c x^{2}+b x+1\right)$ 。记集合 $S=\{x \mid f(x) =0, x \in R\}, T=\{x \mid g(x)=0, x \in R\}$ 。若 $\{S\}$ ，$\{T\}$ 分别为集合 $S, T$ 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）

11、（2011 • 浙江）若函数 $f(x)=x^{2}-|x+a|$ 为偶函数，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ 0 ．

考点：偶函数。
专题：计算题。
分析：根据 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为偶函数，利用偶函数的定义，得到等式恒成立，求出 a 的值．

12、（2011 • 浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是 $\_\_\_\_$ 5 ．

考点：程序框图。
专题：图表型。
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出 $k$ 值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

13、（2011 • 浙江）若二项式 $\left(x-\frac{a}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{n}(a>0)$ 的展开式中 x 的系数为 A ，常数项为 B ，若 $\mathrm{B}=4 \mathrm{~A}$ ，则 a 的值是 $\_\_\_\_$ 2 ．

考点：二项式系数的性质。
专题：计算题。
分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 1 ， 0 求出 A ， B ；列出方程求出 a 。

14、（2011•浙江）若平面向量 $\alpha$ ，$\beta$ 满足 $|\alpha|=1,|\beta| \leq 1$ ，且以向量 $\alpha, \beta$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\alpha$ 和 $\beta$的夹角 $\theta$ 的范围是 $\left[30^{\circ}, 150^{\circ}\right]$

考点：数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角。

15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 $\frac{2}{3}$ ，得到乙、丙公司面试的概率均为 P ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记 x 为该毕业生得到面试的公司个数．若 $P(X=0)=\frac{1}{12}$ ，则随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ $\frac{5}{3}$ ． ．

考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。
专题：计算题。
分析：根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到 x 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望。

16、（2011 • 浙江）设 $x, y$ 为实数，若 $4 x^{2}+y^{2}+x y=1$ ，则 $2 x+y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ． ．

考点：基本不等式。
专题：计算题；转化思想。
分析：设 $\mathrm{t}=2 \mathrm{x}+\mathrm{y}$ ，将已知等式用 t 表示，整理成关于 x 的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于 0 ，求出 t 的范

围，求出 $2 x+y$ 的最大值．

17、（2011•浙江）一个随圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

考点：椭圆的简单性质。
专题：计算题。
分析：根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一，建立等式求得 a 和 c 的关系，则椭圆的离心率可得。

18、（2011•浙江）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ ，所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin A+\sin C=p \sin B ~(p \in R)$ 。且 $a c=\frac{1}{4} b^{2}$ 。

（I）当 $\mathrm{p}=\frac{5}{4}, \mathrm{~b}=1$ 时，求 $\mathrm{a}, \mathrm{c}$ 的值；
（II）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（I）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得 a 和 c 的值。
（II）先利用余弦定理求得 $a, b$ 和 $c$ 的关系，把题设等式代入表示出 $p^{2}$ ，进而利用 $\cos B$ 的范围确定 $p^{2}$ 的范围，进而确定 pd 范围。

19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a(a \in R)$ 设数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；
（II）记 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\frac{1}{S_{3}}+\ldots+\frac{1}{S_{n}}, \mathrm{~B}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2} n-1}$ ，当 $\mathrm{a} \geq 2$ 时，试比较 $\mathrm{A}_{\mathrm{n}}$ 与 $\mathrm{B}_{\mathrm{n}}$ 的大小。
考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（I）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得 $d$ ，则数列的通项公式和前 $n$ 项的和可得。
（II）利用（I）的 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理 $A_{n}$ 与 $B_{n}$ ，最后对 $a>0$ 和 $a<0$两种情况分情况进行比较。

20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{D}$ 为 BC 的中点， $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上，已知
$\mathrm{BC}=8, \mathrm{PO}=4, \mathrm{AO}=3, \mathrm{OD}=2$
（ I ）证明：$A P \perp B C$ ；
（II）在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{MC}-\beta$ 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。

考点：直线与平面垂直的性质；与二面角有关的立体几何综合题。
分析：以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标。

（1）我们易求出 $\overrightarrow{A P}, ~ \overrightarrow{B C}$ 的坐标，要证明 $\mathrm{AP} \perp \mathrm{BC}$ ，即证明 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=0$ ；
（II）要求满足条件使得二面角 $A-M C-\beta$ 为直二面角的点 $M$ ，即求平面 $B M C$ 和平面 $A P C$ 的法向量互相垂直，由此求出 M 点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出 AM 的长．

21、（2011•浙江）已知抛物线 $C_{1}: x^{2}=y$ ，圆 $C_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的圆心为点 $M$
（I）求点 M 到抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 的准线的距离；
（II）已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 于 A ， B 两点，若过 M ， $P$ 两点的直线 $I$ 垂足于 $A B$ ，求直线 $l$ 的方程．

考点：圆与圆锥曲线的综合。
专题：综合题。

分析：（1）由题意抛物线 $\mathrm{C}_{1}: \mathrm{x}^{2}=\mathrm{y}$ ，可以知道其准线方程为 $y=-\frac{1}{4}$ ，有圆 $\mathrm{C}_{2}: \mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-4)^{2}=1$ 的方程可以知道圆心坐标为 $(0,4)$ ，所求易得到所求的点到线的距离；

（II）由于已知点 P 是抛物线 $\mathrm{C}_{1}$ 上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的两条切线，交抛物线 $C_{1}$ 于 $A, B$ 两点，也可以设出点 $A, B$ 的坐标，再设出过 $P$ 的圆 $C_{2}$ 的切线方程，利用交与抛物线 $C_{2}$ 两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的 $M P \perp A B$ ，得到方程进而求解。

22、（2011 • 浙江）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-\mathrm{a})^{2} \ln \mathrm{x}, \mathrm{a} \in \mathrm{R}$
（I）若 $x=e$ 为 $y=f(x)$ 的极值点，求实数 $a$ ；
（II）求实数 a 的取值范围，使得对任意的 $\mathrm{x} \in(0,3 \mathrm{a}]$ ，恒有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 4 \mathrm{e}^{2}$ 成立．
注： e 为自然对数的底数．
考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用。
专题：计算题。
分析：①利用极值点处的导数值为 0 ，求出导函数，将 $\mathrm{x}=\mathrm{e}$ 代入等于 0 ，求出 a ，再将 a 的值代入检验．
（II）对 a 分类讨论，求出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最大值，令最大值小于 $4 \mathrm{e}^{2}$ ，解不等式求出 a 的范围。